Feladat: 1080. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bíró Tamás ,  Főző Csaba 
Füzet: 1973/március, 134 - 135. oldal  PDF file
Témakör(ök): Coulomb-törvény, Tömegpont egyensúlya, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/október: 1080. fizika feladat

Függőlegesen kifeszített szigetelő fonálon m tömegű, Q töltésű gömböcske szabadon mozoghat. A fonáltól balra és jobbra, egyenlő h távolságban Q1 és Q2 töltésű gömböket helyeztünk el. Keressük a m tömegű gömböcske egyensúlyi helyzeteit. (m=0,45 gramm, g=10 m/s2, h=50 cm, Q=10-7 C, Q1=+210-6 C, Q2=+310-6 C.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyensúly esetén a Q1 és Q2 töltések által a P töltésű gömbre kifejtett F1 és F2 erők függőleges komponenseinek összege egyenlő a Q töltésű test súlyával.

 

 

1. ábra
 

Legyen QQ1Q2=α (1. ábra), ekkor az 1. ábra jelöléseivel:
F1=kQQ1/r2=(kQQ1cos2α)/h2,F2=kQQ2)/r2=(kQQ2cos2α)/h2.


Az egyensúly feltétele:
F1sinα+F2sinα=[kQ(Q1+Q2)cos2αsinα]/h2=mg.
Azonos átalakítás után
sin3α-sinα+mgh2kQ(Q1+Q2)=0.
Bevezetve az x=sinα jelölést, a numerikus adatok behelyettesítése után az
x3=x-(1/4)
egyenletet kapjuk.
Az y=x3 és y=x-0,25 függvényeket ábrázolva (2. ábra) milliméterpapíron, leolvashatók a gyökök közelítő értékei, amelyeket pl. intervallumfelezéssel tetszőleges pontossággal meghatározhatunk.
 

 

2. ábra
 

Az egyenlet pozitív gyökei:
x1=0,838;x2=0,269.
Innen α157 és α216 adódik egyensúlyi helyzetnek.
Az α57-os egyensúlyi helyzet stabilis, mert a golyót felfelé, ill. lefelé kimozdítva az elektrosztatikus erő kisebb, ill. nagyobb lesz a súlyerőnél, tehát az eredő lefelé, ill. felfelé mutat és visszaviszi a golyót eredeti helyzetébe. A másik egyensúlyi helyzet labilis, mert itt kimozdítva a golyót, arra olyan erő hat, amely a kitérést növelni igyekszik.
 

 Főző Csaba (Sopron, József A. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzés. A golyó egyensúlyban van azon α szöggel jellemzett helyzetekben, ahol az
E(α)=mghtg α+kQ(Q1+Q2)hcosα
potenciális energiafüggvénynek helyi szélsőértéke van. A maximum labilis, a minimum stabilis egyensúlyi helyzetet jelent.
A dEdα=0 feltétel most is ugyanarra a sinα-ban harmadfokú egyenletre vezet, mint az előbb az erők egyensúlyának vizsgálata.
 

 Biró Tamás (Bp., Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)