Feladat: 1057. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bérczi Tamás ,  Kollár János ,  Kún Zoltán ,  Lázár Mária ,  Meszéna Géza ,  Molnár György 
Füzet: 1973/január, 35 - 36. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tökéletesen rugalmas ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/május: 1057. fizika feladat

Bizonyítsuk be, hogy ha egy álló golyóval egy vele egyenlő tömegű golyó rugalmasan, ferdén ütközik, akkor az ütközés után sebességeik merőlegesek egymásra.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a golyók tömege m, a mozgó golyó sebessége az ütközés előtt v, legyenek az ütközés utáni sebességek w1 és w2.
A rugalmas ütközésre alkalmazott impulzus ‐ és energiamegmaradás törvényének segítségével közvetlenül belátható w1 és w2 merőlegessége:

mv=mw1+mw2,ígyv=w1+w2,(1)(1/2)mv2=(1/2)mw12+(1/2)mw22,ígyv2=w12+w22.(2)


Az (1) vektoregyenlet alapján a v, w1 és w2 vektorok egy háromszög oldalai. A háromszög oldalaira fennáll a (2) összefüggés, azért a Pythagoras-tétel folytán a háromszög derékszögű, és befogói az ütközés utáni sebességek.
A feladat geometriai megfontolás nélkül is megoldható. Az (1) és (2 ) egyenletekből együttesen következik:
v2=(w1+w2)2=w12+w22.
ahonnan
2w1w2=0.(3)
Két nem nulla vektor skaláris szorzata pedig csak akkor nulla, ha azok merőlegesek egymásra.
 

Meszéna Géza (Bp., Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)

 

Megjegyzés. A megoldás ferde ütközésre vonatkozik. Centrális ütközésnél ‐ szimmetriaokokból ‐ a sebességek csak párhuzamosak lehetnek, tehát a (3) egyenletből következik, hogy az egyik ütközés utáni sebesség nulla. Ekkor nincs értelme szögről beszélni.