Kezdőlap


Feladat:	1055. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pach János
Füzet:	1972/december, 235 - 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hidrosztatikai nyomás, Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/április: 1055. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $r$ a légbuborék hosszát általános helyzetben, $r_{0}$ vízszintes helyzetben, $φ$ a cső függőlegessel bezárt szögét, $p_{0}$ és $p$ a külső, illetve belső nyomást, $h$ a higanyoszlop hosszát, $γ$ a higany fajsúlyát.
A cső egy általános helyzetében a higanyoszlop akkor van egyensúlyban, ha a ráható erők esőirányú összetevőinek összege nulla. Mivel a cső keresztmetszete állandó, ezt a következőképp írhatjuk föl :

\begin{matrix} p_{0} + γ h \cdot cos φ - p = 0. \end{matrix}

(1)

Mivel a gáz hőmérséklete állandó, a vízszintes és az általános helyzet között a Boyle‐Mariotte törvény ad kapcsolatot. Az (1) egyenlet segítségével kapjuk, hogy

\begin{matrix} p_{0} r_{0} = r (p_{0} + γ h cos φ) . \end{matrix}

Ebből

r

kifejezhető

φ

függvényében :

\begin{matrix} r = \frac{r_{0}}{1 + \frac{γ h}{p_{0}} cos φ} . \end{matrix}

(2)

Ez egy olyan kúpszelet polárkoordinátás alakja, amelynek fókuszpontja a cső rögzített vége.
Ha

γ h < p_{0}

, a kúpszelet ellipszis. Elegendően hosszú csőben ekkor a higanyoszlopnak minden szögállásnál van egyensúlyi helyzete. Ha

γ h = p_{0}

, a kúpszelet parabola, ha

γ h > p_{0}

, hiperbola. Ezekben az esetekben a higanyoszlopnak nincs minden szögállásnál egyensúlyi helyzete, ha elég meredeken tartjuk, a higany minden véges hosszú csőből kifolyik.
A mi adatainkkal

\begin{matrix} \frac{γ h}{p_{0}} = \frac{38 cm}{76 cm} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

azaz a légbuborék vége egyensúlyban egy ellipszisen helyezkedik el. A higany nem folyik ki a csőből, ha annak hossza legalább

\begin{matrix} \frac{r_{0}}{1 - γ h / p_{0}} + h = 58 cm . \end{matrix}

Megjegyzés. A (2) kifejezésről könnyen beláthatjuk, hogy kúpszelet egyenlete, ha áttérünk az

x

y

derékszögű koordinátákra. Az

\begin{matrix} r = \sqrt[]{x^{2} + y^{2}}, cos φ = \frac{y}{r}, \frac{γ h}{p_{0}} = ε \end{matrix}

helyettesítések elvégzése és gyöktelenítés után

\begin{matrix} x^{2} + (1 - ε^{2}) y^{2} + 2 ε y r_{0} = r_{0}^{2} . \end{matrix}

ε = 1

, akkor egy parabola egyenletét kapjuk :

\begin{matrix} y = - \frac{1}{2 r_{0}} x^{2} + \frac{r_{0}}{2} . \end{matrix}

ε \neq 1

, az

y

-t tartalmazó tagokat teljes négyzetté alakítva :

\begin{matrix} x^{2} + (1 - ε^{2}) {[y + \frac{ε r_{0}}{1 - ε^{2}}]}^{2} = \frac{r_{0}^{2}}{1 - ε^{2}} \end{matrix}

A jobb oldallal osztva

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{\frac{r_{0}^{2}}{1 - ε^{2}}} + \frac{{(y + \frac{ε r_{0}}{1 - ε^{2}})}^{2}}{\frac{r_{0}^{2}}{{(1 - ε^{2})}^{2}}} = 1. \end{matrix}

ε < 1

, ez egy ellipszis egyenlete, ha

ε > 1

, egy hiperboláé. A mi adatainkkal :

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{{(\frac{20}{\sqrt[]{3}})}^{2}} + \frac{{(y + \frac{20}{3})}^{2}}{{(\frac{40}{3})}^{2}} = 1. \end{matrix}

Ebből az ellipszis minden adata leolvasható.

Pach János (Bp., Veres Pálné Gimn., IV. o. t.)