Kezdőlap


Feladat:	1049. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bíró Tamás , Gál Péter , Kollár István , Pipek János
Füzet:	1972/november, 183 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Biot-Savart törvény, Határozott integrál, Függvény határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/március: 1049. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először fejezzük ki, hogy egy $n$ oldalú szabályos sokszög alakú vezető egyik oldalában folyó áram mekkora térerősséget hoz létre a sokszög középpontjában.

A Biot‐Savart törvény alapján az oldal elemének járuléka

\begin{matrix} d H = k \frac{I \cdot d l \cdot sin ϑ}{r^{2}}, \end{matrix}

iránya a sokszög síkjára merőleges,

k

az egységválasztástól függő állandó. A teljes oldal által létrehozott térerősség

\begin{matrix} H_{0} = k I \int_{- l}^{+ l} \frac{sin ϑ d l}{r^{2}} . \end{matrix}

Mivel

sin ϑ = cos φ

d l = r cos φ d φ

és

r = \frac{R}{cos φ}

H_{0}

a következő alakban írható:

\begin{matrix} H_{0} = k I \int_{- φ_{0}}^{+ φ_{0}} \frac{cos φ}{R} d φ = \frac{2 k I}{R} sin φ_{0} . \end{matrix}

n

oldalú sokszög esetén

φ = π / n

, másrészt az egyes oldalak által létrehozott térerősség iránya megegyezik, így a teljes térerősség a sokszög középpontjában

\begin{matrix} H = \frac{2 n k I}{R} sin (π / n) . \end{matrix}

n

oldalú szabályos sokszög területe

\begin{matrix} T = n R l = n R^{2} tg (π / n), innen \\ R = \sqrt[]{\frac{T}{n tg (π / n)}} . \end{matrix}

Ezt felhasználva a térerősség

\begin{matrix} H = \frac{2 n k I}{\sqrt[]{T}} \sqrt[]{n tg (π / n) sin^{2} (π / n)} = \frac{2 k I}{\sqrt[]{T}} π^{3 /_{2}} \sqrt[]{{(\frac{n}{π})}^{3} \frac{sin^{3} (π / n)}{cos (π / n)}} . \end{matrix}

n

adott értékeire kiszámítva

H

értékét, azt kapjuk, hogy a háromszög középpontjában a legnagyobb a térerősség

(\approx 11, 85 \cdot \frac{k I}{\sqrt[]{T}})

, és az oldalszám növelésével monoton csökken. (Az együttható számértéke négyzetre

\approx 11, 34

, szabályos ötszögre

\approx 11, 20

, szabályos hatszögre

\approx 11, 17

stb.) Kör esetén

n \to \infty

határátmenetet hajtunk végre, mely a

{lim}_{x \to 0}^{} \frac{sin x}{x} = 1

összefüggést felhasználva

H = \frac{2 k I}{\sqrt[]{T}} π^{3 /_{2}} \approx 11, 12 \frac{k I}{\sqrt[]{T}}

eredményt ad.

Gál Péter (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t)

Megjegyzés. Az eltérések igen kicsik (

6 %

-on belül), megegyezésben azzal, hogy nagyobb távolságban minden áramvezető hurok egy dipólussal helyettesíthető, melynek erőssége csak az átfolyó áram erősségétől és a hurok területétől függ.