Feladat: 1049. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bíró Tamás ,  Gál Péter ,  Kollár István ,  Pipek János 
Füzet: 1972/november, 183 - 184. oldal  PDF file
Témakör(ök): Biot-Savart törvény, Határozott integrál, Függvény határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/március: 1049. fizika feladat

Adva van szabályos háromszög, négyzet, szabályos ötszög, szabályos hatszög és kör alakú áramvezető. Mindegyiknek a területe egyenlő, mindegyikben ugyanolyan erősségű áram folyik. Melyiknek a középpontjában a legnagyobb az áram által létrehozott mágneses tér intenzitása?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először fejezzük ki, hogy egy n oldalú szabályos sokszög alakú vezető egyik oldalában folyó áram mekkora térerősséget hoz létre a sokszög középpontjában.

 

 

A Biot‐Savart törvény alapján az oldal elemének járuléka
dH=kIdlsinϑr2,
iránya a sokszög síkjára merőleges, k az egységválasztástól függő állandó. A teljes oldal által létrehozott térerősség
H0=kI-l+lsinϑdlr2.
Mivel sinϑ=cosφ, dl=rcosφdφ és r=Rcosφ, H0 a következő alakban írható:
H0=kI-φ0+φ0cosφRdφ=2kIRsinφ0.
n oldalú sokszög esetén φ=π/n, másrészt az egyes oldalak által létrehozott térerősség iránya megegyezik, így a teljes térerősség a sokszög középpontjában
H=2nkIRsin(π/n).
Az n oldalú szabályos sokszög területe
T=nRl=nR2tg  (π/n),innenR=Tntg  (π/n).


Ezt felhasználva a térerősség
H=2nkITntg  (π/n)sin2(π/n)=2kITπ3/2(nπ)3sin3(π/n)cos(π/n).

n adott értékeire kiszámítva H értékét, azt kapjuk, hogy a háromszög középpontjában a legnagyobb a térerősség (11,85kIT), és az oldalszám növelésével monoton csökken. (Az együttható számértéke négyzetre 11,34, szabályos ötszögre 11,20, szabályos hatszögre 11,17 stb.) Kör esetén n határátmenetet hajtunk végre, mely a limx0sinxx=1 összefüggést felhasználva H=2kITπ3/211,12kIT eredményt ad.
 

Gál Péter (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t)

 

Megjegyzés. Az eltérések igen kicsik (6%-on belül), megegyezésben azzal, hogy nagyobb távolságban minden áramvezető hurok egy dipólussal helyettesíthető, melynek erőssége csak az átfolyó áram erősségétől és a hurok területétől függ.