Feladat: 1027. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kiss János ,  Meszéna Géza 
Füzet: 1972/május, 232 - 233. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Szabadesés, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/január: 1027. fizika feladat

Egy állócsigán fonál van átvetve, a fonál végeire egy‐egy M=880 g tömegű, belül üres henger van kötve. A rendszer kezdetben nyugalomban van. Az egyik hengerre h=4,9 m magasról m=200 g tömegű plasztilin anyagból készült golyót ejtünk.
 

a) Milyen kezdősebességgel indulnak el a hengerek?
b) Mekkora a hengerek sebessége 5 s múlva, és mekkora utat tesznek meg ezen idő alatt?
 

(A súrlódást, a fonál, ill. a csiga súlyát elhanyagoljuk.)
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az m tömegű golyónak az ütközésig elért v sebességét az energiamegmaradás törvényéből számíthatjuk ki:

mgh=(1/2)mv2,v=2gh.
Az ütközés rugalmatlan, az ütközés utáni közös sebességet az impulzusmegmaradás tételének segítségével határozzuk meg. Az ütközés előtt a plasztilingolyó impulzusa mv, a hengereké 0. Az ütközés után mind a három test közös v0 sebességgel fog mozogni, tehát
mv=(2M+m)v0,v0=m2M+mv.
A testek gyorsulását a dinamika alaptörvényének felhasználásával számítjuk ki.
 
 
1. ábra
 

A M és a M+m tömegű testre felírjuk Newton II. törvényét:
Ma=K-Mg,(M+m)a=(M+m)g-K.
A két egyenletet összeadva a K kötélerő kiesik:
(2M+m)a=mg,a=m2M+mg.
t idő múlva a testek sebessége vt=v0+at, és a t idő alatt megtett út s=v0+(a/2)t2.
A numerikus adatokkal: v=9,8 m/s, v0=1 m/s, a=1m/s2, vt=6 m/s, s=17,5 m.
 

Kiss János (Mezőkövesd, I. László Gimn., II. o. t. )
 

Megjegyzés. Az ütközés utáni sebesség kiszámításánál a mozgásmennyiség megmaradására hivatkoztunk, pedig a mozgásmennyiség vektor ebben az esetben nem marad meg: az egyik M tömeg Mv0 impulzusát mindenképpen kiejti a másik henger M(v0) impulzusa, így az összes impulzus az ütközés után mv0mv. Számolásunk mégis helyes: az egyik henger és a plasztilingolyó ütközését nem befolyásolja, hogy a két hengert összekötő kötél egyenes-e, vagy csigán át van-e vetve. Ugyanis a csiga nem változtatja meg az ütközés alatt fellépő kötélerő nagyságát, csak az irányát. Így az ütközés során fellépő sebességváltozások megegyeznek a 2. ábrán vázolt ütközés sebességváltozásaival.
 
 
2. ábra
 

Ott pedig igaz a mozgásmennyiség megmaradása. Egyébként a ,,hiányzó'' 2Mv0 impulzus nem tűnt el, csak nem a hengerek vették fel: a csigára ható erő közvetítésével az a test vette fel, amelyhez a csiga rögzítve volt (pl. a Föld).
 

Meszéna Géza (Bp., Berzsenyi D. Gimn., II. o. t. )