Kezdőlap


Feladat:	1022. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gulyás Ferenc , Wagner László
Füzet:	1972/május, 228 - 229. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Párhuzamos erők eredője, Analógia alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/december: 1022. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A$ ponttól $x$ -nél nagyobb távolságú részt képzeletben eltávolítjuk. Az elhagyott rész hatása egy erővel $(F_{X})$ és egy forgatónyomatékkal $(M)$ helyettesíthető; definíció szerint ez a tartóban ható erő és forgatónyomaték.
Tudjuk, hogy a megmaradt rész egyensúlyban van, tehát a ráható forgatónyomatékok összege nulla: $M + M_{k} = 0$ , ahol $M_{k}$ a darabra ható egyéb erők forgatónyomatéka. Írjuk fel ezt az egyenletet az 1. ábrán látható $x$ hosszúságú darab $X$ pontja körüli nyomatékokra!

1. ábra

Ekkor az ismeretlen nagyságú

F_{x}

erő forgatónyomatéka nulla, és a külső erők nyomatéka

M_{k} = F_{A} \cdot x - M'

, ahol

F_{A}

A

pontban ható erő,

M'

a nyomáseloszlásból származó forgatónyomaték. Ennek meghatározásához használjuk fel, hogy az adott nyomáseloszlás előállítható úgy is, hogy a tartóra vékony, növekvő magasságú hasábokat helyezünk.

2. ábra

Az adódó trapéz súlyát és súlypontjának helyét megkaphatjuk, ha a trapézt egy átlóval (2. ábra) vagy pedig egy vízszintes szelővel (3. ábra) két részre osztjuk, és az idomok adatait külön-külön kiszámítjuk.

3. ábra

A számolás végeredménye mindkét esetben:

\begin{matrix} F = (1 / 2) (p_{X} + p_{A}) \cdot x \end{matrix}

az eredő nyomóerő, és

\begin{matrix} k = \frac{2 p_{A} + p_{X}}{3 (p_{A} + p_{X})} \cdot x \end{matrix}

a súlyvonal

X

ponttól mért távolsága (az erő karja). Itt

\begin{matrix} p_{X} = \frac{p_{A} (l - x) + p_{B} \cdot x}{l} \end{matrix}

a gerenda mentén egyenletesen változó nyomás

X

pontban felvett értéke.

M' = F \cdot k - t

és

p_{X}

-et behelyettesítve a keresett forgatónyomaték:

\begin{matrix} M = F_{A} \cdot x - (1 / 2) p_{A} x^{2} - (1 / 6) (p_{B} - p_{A}) x^{3} / l . \end{matrix}

F_{A}

-t legegyszerűbben abból a feltételből kaphatjuk meg, hogy

x = l

-nél

M = 0

, mert

M

az eltávolított rész forgatónyomatéka, és a tartó szabad végénél nincs mit eltávolítani. Tehát

\begin{matrix} F_{A} (1 / 6) (2 p_{A} + p_{B}) \cdot l . Hasonlóan : \\ F_{A} (1 / 6) (2 p_{B} + p_{A}) \cdot l . \end{matrix}

Wagner László (Bp., Berzsenyi D. Gimn., II. o. t. )

Megjegyzések. 1. A tartó azon a helyen törik el, ahol az

M

nyomaték a legnagyobb. Ezt a helyet veszélyes keresztmetszetnek szokták nevezni, helyének meghatározása fontos a tartók méretezésénél. Esetünkben a veszélyes keresztmetszet helye a

\begin{matrix} \frac{d M}{d x} = \frac{1}{6} (2 p_{A} + p_{B}) \cdot l - p_{A} \cdot x - \frac{1}{2} (p_{B} - p_{A}) \frac{x^{2}}{l} = 0 \end{matrix}

egyenlet megoldásával kapható.
2. A nyomáson jelen esetben hosszegységre eső erőhatást kellett érteni. Ha a

ξ

helyen a nyomás

p_{ξ}

akkor

d ξ

hosszúságú darabot

p_{ξ} \cdot d ξ

erő nyom, ennek forgatónyomatéka

ξ

karon

ξ \cdot P_{ξ} \cdot d ξ

(4. ábra).

4. ábra

A megmaradt részre ható forgatónyomatékot tehát az

M' = \int_{0}^{x} ξ \cdot p_{ξ} \cdot d ξ

integrál kiszámításával is meghatározhatjuk, ahol

\begin{matrix} p_{ξ} = \frac{p_{X} (x - ξ) + p_{A} ξ}{x} . \end{matrix}