Feladat: 1022. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Gulyás Ferenc ,  Wagner László 
Füzet: 1972/május, 228 - 229. oldal  PDF file
Témakör(ök): Erők forgatónyomatéka, Párhuzamos erők eredője, Analógia alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/december: 1022. fizika feladat

Egy l hosszúságú, két végén alátámasztott gerendára úgy helyezünk terhelést, hogy a tartóra ható nyomás a hossztengely mentén egyenletesen változik pA értékről pB értékre. Mekkora erő nyomja a két alátámasztást? Határozzuk meg a tartó egyes keresztmetszetein ható forgatónyomatékot mint a hely függvényét! (Lásd a szeptemberi és novemberi számban közölt cikkeket!)
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az A ponttól x-nél nagyobb távolságú részt képzeletben eltávolítjuk. Az elhagyott rész hatása egy erővel (FX) és egy forgatónyomatékkal (M) helyettesíthető; definíció szerint ez a tartóban ható erő és forgatónyomaték.
Tudjuk, hogy a megmaradt rész egyensúlyban van, tehát a ráható forgatónyomatékok összege nulla: M+Mk=0, ahol Mk a darabra ható egyéb erők forgatónyomatéka. Írjuk fel ezt az egyenletet az 1. ábrán látható x hosszúságú darab X pontja körüli nyomatékokra!

 
 
1. ábra
 

Ekkor az ismeretlen nagyságú Fx erő forgatónyomatéka nulla, és a külső erők nyomatéka Mk=FAx-M', ahol FA az A pontban ható erő, M' a nyomáseloszlásból származó forgatónyomaték. Ennek meghatározásához használjuk fel, hogy az adott nyomáseloszlás előállítható úgy is, hogy a tartóra vékony, növekvő magasságú hasábokat helyezünk.
 
 
2. ábra
 

Az adódó trapéz súlyát és súlypontjának helyét megkaphatjuk, ha a trapézt egy átlóval (2. ábra) vagy pedig egy vízszintes szelővel (3. ábra) két részre osztjuk, és az idomok adatait külön-külön kiszámítjuk.
 
 
3. ábra
 

A számolás végeredménye mindkét esetben:
F=(1/2)(pX+pA)x
az eredő nyomóerő, és
k=2pA+pX3(pA+pX)x
a súlyvonal X ponttól mért távolsága (az erő karja). Itt
pX=pA(l-x)+pBxl
a gerenda mentén egyenletesen változó nyomás X pontban felvett értéke.
M'=Fk-t és pX-et behelyettesítve a keresett forgatónyomaték:
M=FAx-(1/2)pAx2-(1/6)(pB-pA)x3/l.
FA-t legegyszerűbben abból a feltételből kaphatjuk meg, hogy x=l-nél M=0, mert M az eltávolított rész forgatónyomatéka, és a tartó szabad végénél nincs mit eltávolítani. Tehát
FA(1/6)(2pA+pB)l.Hasonlóan:FA(1/6)(2pB+pA)l.
 

Wagner László (Bp., Berzsenyi D. Gimn., II. o. t. )
 

Megjegyzések. 1. A tartó azon a helyen törik el, ahol az M nyomaték a legnagyobb. Ezt a helyet veszélyes keresztmetszetnek szokták nevezni, helyének meghatározása fontos a tartók méretezésénél. Esetünkben a veszélyes keresztmetszet helye a
dMdx=16(2pA+pB)l-pAx-12(pB-pA)x2l=0
egyenlet megoldásával kapható.
2. A nyomáson jelen esetben hosszegységre eső erőhatást kellett érteni. Ha a ξ helyen a nyomás pξ akkor dξ hosszúságú darabot pξdξ erő nyom, ennek forgatónyomatéka ξ karon ξPξdξ (4. ábra).
 
 
4. ábra
 

A megmaradt részre ható forgatónyomatékot tehát az M'=0xξpξdξ integrál kiszámításával is meghatározhatjuk, ahol
pξ=pX(x-ξ)+pAξx.