Kezdőlap


Feladat:	1021. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kövér András , Szabó Zoltán
Füzet:	1972/április, 189 - 190. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felületi feszültségből származó erő, Felületi feszültségből származó energia, Hooke-törvény, A (mechanikai) feszültség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/december: 1021. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A gumigyűrű addig fog növekedni, amíg a felületi feszültségből származó erő és a rugalmas erők egyensúlyba nem kerülnek.
Jelöljük az egyensúlyi helyzethez tartozó sugarat $r$ -rel és vizsgáljuk a gyűrű $Δ φ$ középponti szögű darabját!

A gumi relatív megnyúlása

\frac{2 π (r - r_{0})}{2 π r_{0}}

, ennek megfelelően a vizsgált darab mindkét végén

F_{1} = \frac{r - r_{0}}{r_{0}}

E A

nagyságú, érintő irányú erő lép fel. Ezek eredője, ha a

Δ φ

szöget elegendően kicsire választjuk

\begin{matrix} 2 F_{1} sin Δ φ / 2 \approx F_{1} \cdot Δ φ nagyságú . \end{matrix}

Mivel a hártyának két szabad felülete van, a felületi feszültségből származó erő

\begin{matrix} F_{2} = 2 σ r \cdot Δ φ . \end{matrix}

Az egyensúly feltétele

F_{2} = F_{1} \cdot Δ φ

, vagyis

\begin{matrix} \frac{r - r_{0}}{r_{0}} E A \cdot Δ φ = 2 σ r \cdot Δ φ . \end{matrix}

Ennek megoldása

\begin{matrix} r = \frac{r_{0}}{1 - 2 σ r_{0} / E A} . \end{matrix}

A megoldás során kihasználtuk a Hook‐törvényt, amely azonban csak kis megnyúlásokra érvényes. Jelen esetben ennek feltétele:

r - r_{0} ≪ r_{0}

, ami akkor teljesül, ha

\frac{σ r_{0}}{E A} ≪ 1

. Felhasználva a kicsiny

x

-re érvényes

\frac{1}{1 - x} \approx 1 + x

összefüggést, eredményünket

\begin{matrix} r = r_{0} (1 + \frac{2 σ r_{0}}{E A}) \end{matrix}

alakban írhatjuk fel.

Kövér András (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. A gumikarika sugara addig fog növekedni, amíg a rendszer potenciális energiája minimális nem lesz. Ez az energia egyrészt a folyadékfelszín energiájából, másrészt a rugalmas energiából adódik. Ha az energiákat a kiindulási helyzetben nullának választjuk, akkor a folyadék két szabad felületének energiája

r

sugarú gyűrűnél

\begin{matrix} E_{1} (r) = 2 σ (r_{0}^{2} - r^{2}) π . \end{matrix}

A gumiszál megnyúlása

Δ l = 2 π (r - r_{0})

, az egységnyi megnyúlásnál fellépő direkciós erő

k = \frac{E A}{2 π r_{0}}

, a rugalmas energia

\begin{matrix} E_{2} (r) = \frac{1}{2} k {(Δ l)}^{2} = \frac{E A {(r - r_{0})}^{2} π}{r_{0}} . \end{matrix}

A teljes energia

E (r) = E_{1} (r) + E_{2} (r)

a sugár másodfokú függvénye, mely minimumát az

\begin{matrix} r = \frac{r_{0}}{1 - 2 σ r_{0} / E A} \end{matrix}

értékénél veszi fel.

Szabó Zoltán (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A megoldók többsége az energiamegmaradásra hivatkozva az

E_{1} + E_{2} = 0

egyenlőséget írta fel és az

\begin{matrix} r = r_{0} \frac{E A + 2 σ r_{0}}{E A - 2 σ r_{0}} \approx r_{0} (1 + \frac{4 σ r_{0}}{E A}) \end{matrix}

eredményt kapta. Ez csak akkor lenne helyes, ha a rendszer összes mechanikai energiája állandó maradna. A valóságban azonban a gumigyűrű és vele együtt a folyadékhártya erősen csillapított rezgő mozgást végez, miközben a mechanikai energia részben hővé alakul. Hasonló a helyzet egy megfeszített, majd elengedett rugó egyensúlyi helyzetének meghatározásához. A kezdő pillanat helyzeti energiája nyilván nem az egyensúlyi helyzet, hanem a túloldali legnagyobb kitérés potenciális energiájával egyezik meg.