Feladat: 1021. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kövér András ,  Szabó Zoltán 
Füzet: 1972/április, 189 - 190. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felületi feszültségből származó erő, Felületi feszültségből származó energia, Hooke-törvény, A (mechanikai) feszültség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/december: 1021. fizika feladat

Zárt drótkeretben σ felületi feszültségű folyadékból folyadékhártyát hozunk létre. A rétegre r0 sugarú, A keresztmetszetű, E rugalmassági moduluszú ─ elhanyagolható súlyú, ─ gumigyűrűt helyezünk, majd az ennek belsejébe eső folyadékhártyát forró fémtűvel kilyukasztjuk. Mekkorára fog növekedni a gumigyűrű sugara?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A gumigyűrű addig fog növekedni, amíg a felületi feszültségből származó erő és a rugalmas erők egyensúlyba nem kerülnek.
Jelöljük az egyensúlyi helyzethez tartozó sugarat r-rel és vizsgáljuk a gyűrű Δφ középponti szögű darabját!

 

 

A gumi relatív megnyúlása 2π(r-r0)2πr0, ennek megfelelően a vizsgált darab mindkét végén F1=r-r0r0 EA nagyságú, érintő irányú erő lép fel. Ezek eredője, ha a Δφ szöget elegendően kicsire választjuk
2F1sinΔφ/2F1Δφ nagyságú.
Mivel a hártyának két szabad felülete van, a felületi feszültségből származó erő
F2=2σrΔφ.
Az egyensúly feltétele F2=F1Δφ, vagyis
r-r0r0EAΔφ=2σrΔφ.
Ennek megoldása
r=r01-2σr0/EA.

A megoldás során kihasználtuk a Hook‐törvényt, amely azonban csak kis megnyúlásokra érvényes. Jelen esetben ennek feltétele: r-r0r0, ami akkor teljesül, ha σr0EA1. Felhasználva a kicsiny x-re érvényes 11-x1+x összefüggést, eredményünket
r=r0(1+2σr0EA)
alakban írhatjuk fel.
 

Kövér András (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., IV. o. t.)
 

II. megoldás. A gumikarika sugara addig fog növekedni, amíg a rendszer potenciális energiája minimális nem lesz. Ez az energia egyrészt a folyadékfelszín energiájából, másrészt a rugalmas energiából adódik. Ha az energiákat a kiindulási helyzetben nullának választjuk, akkor a folyadék két szabad felületének energiája r sugarú gyűrűnél
E1(r)=2σ(r02-r2)π.
A gumiszál megnyúlása Δl=2π(r-r0), az egységnyi megnyúlásnál fellépő direkciós erő k=EA2πr0, a rugalmas energia
E2(r)=12k(Δl)2=EA(r-r0)2πr0.
A teljes energia E(r)=E1(r)+E2(r) a sugár másodfokú függvénye, mely minimumát az
r=r01-2σr0/EA
értékénél veszi fel.
 

 Szabó Zoltán (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzés. A megoldók többsége az energiamegmaradásra hivatkozva az E1+E2=0 egyenlőséget írta fel és az
r=r0EA+2σr0EA-2σr0r0(1+4σr0EA)
eredményt kapta. Ez csak akkor lenne helyes, ha a rendszer összes mechanikai energiája állandó maradna. A valóságban azonban a gumigyűrű és vele együtt a folyadékhártya erősen csillapított rezgő mozgást végez, miközben a mechanikai energia részben hővé alakul. Hasonló a helyzet egy megfeszített, majd elengedett rugó egyensúlyi helyzetének meghatározásához. A kezdő pillanat helyzeti energiája nyilván nem az egyensúlyi helyzet, hanem a túloldali legnagyobb kitérés potenciális energiájával egyezik meg.