Kezdőlap


Feladat:	1017. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schlosser Tamás
Füzet:	1972/április, 185 - 187. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lencsék, Gömbtükör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/november: 1017. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először vizsgáljunk egy $n$ db vékony lencséből álló optikai rendszert! Legyen az $i$ -edik lencse fókusztávolsága $f_{i}$ , tárgytávolsága $t_{i}$ , képtávolsága $k_{i}$ . A vékony lencsék vastagsága ‐ definíciójuk értelmében ‐ elhanyagolható, így az öszeillesztett lencsék síkjai egybeesnek. Emiatt az egymás után következő lencsékre mindig igaz a

\begin{matrix} t_{i + 1} = - k_{i}, \end{matrix}

(1)

egyenlőség. Mindegyik lencsére felírva a leképzési törvényt, és az egyenleteket összeadva:

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{f_{i}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{t_{i}} + \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k_{i}} . \end{matrix}

(2)

(1) miatt azonban

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{t_{i}} + \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{k_{i}} = \frac{1}{t_{1}} + \frac{1}{k_{n}} . \end{matrix}

Mivel a lencserendszer egészére vonatkoztatott tárgytávolság

t = t_{1}

, képtávolság

k = k_{n}

, az egész rendszer helyettesíthető egy

f = \frac{1}{\sum (1 / f_{i})}

fókusztávolságú lencsével, melyre (2) alapján igaz a leképzési törvény:

\begin{matrix} \frac{1}{f} = \frac{1}{t} + \frac{1}{k} . \end{matrix}

(3)

Az így választott

f

tényleg a klasszikus értelemben vett fókusztávolság, hiszen a leképzési törvény teljesüléséből a párhuzamos fénysugarakra

(t = \infty)

közvetlenül adódik a

k = f

egyenlőség.
Az adott elrendezésben a fénysugár kétszer áthalad a lencsén és egyszer visszaverődik a gömbtükörről. Mivel a leképzési törvény kis nyílásszögű gömbtükörre is érvényes, és a tükör közvetlenül illeszkedik a lencséhez, az adott rendszer helyettesíthető egy három vékony lencséből álló optikai rendszerrel. A helyettesítő rendszernél ‐ a tükör hiánya miatt ‐ a képalkotás az ellenkező oldalon történik.
A lencse, ill. tükör fókusztávolsága a geometriai adatok és a törésmutató ismeretében

\begin{matrix} f_{i} = \frac{1}{(n - 1) (1 / r_{1} + 1 / r_{2})}, & (4) \\ f_{t} = r / 2. & (5) \end{matrix}

Az eredő fókusztávolság:

\begin{matrix} f = \frac{1}{1 / f_{i} + 1 / f_{t} + 1 / f_{i}} = \frac{1}{2 / f_{i} + 1 / f_{t}} & (6) \end{matrix}

A leképzési törvény előjeleinek megfelelően a homorú tükör fókusztávolsága pozitív, a domború tüköré negatív. Az egész rendszer tehát akkor helyettesíthető homorú tükörrel, ha

1 / f > 0

\begin{matrix} \frac{2}{f_{i}} + \frac{1}{f_{i}} > 0, (n - 1) (\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}}) > - \frac{1}{r}, \end{matrix}

domború tükörrel pedig, ha

1 / f < 0

\begin{matrix} (n - 1) (\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}}) < - \frac{1}{r} . \end{matrix}

Egyenlőség esetén a rendszer síktükörként viselkedik. A gömbtükörrel való helyettesítéskor a képalkotás is a megfelelő oldalon történik.
A lencse és a tükör fókusztávolságának ismeretében, (6) felhasználásával kiszámítható az eredő fókusztávolság, majd a tárgytávolság segítségével (3) alapján a képtávolság. A nagyítás:

N = k / t

.
A megadott értékek mellett az eredmények:

\begin{matrix} f_{t}(cm) & 6 & 6 & - 6 & - 6 \\ f_{t}(cm) & 5 & - 5 & 5 & - 5 \\ f(cm) & 1,88 & 7,5 & - 7, 5 & - 1, 88 \\ k(cm) & 2,12 & 14,1 & - 5, 12 & - 1, 68 \\ N & 0,133 & 0,881 & - 0, 319 & - 0, 105 \\ t = 16cm \end{matrix}

A szerkesztésnél két kiválasztott sugármenetet vizsgálunk. Legyen az egyik az optikai tengellyel párhuzamosan induló sugár, mely a törés, ill. a tükrözés után keresztülhalad a fókuszon, a másik a lencse, ill. a tükör középpontján áthaladó sugár, mely nem változtatja irányát, ill. tükröződik.
A szerkesztés három lépését

f_{i} = 6

cm,

f_{t} = 5

cm esetén az ábrák mutatják.

1. ábra

Az 1. ábrán a lencse első képalkotása

(K_{1})

, a 2. ábrán e kép tükrözése, a virtuális

K_{2}

kép szerkesztése látható.

2. ábra

A 3. ábráról közvetlenül leolvasható az utolsó leképezés eredménye, a kérdezett

k_{3} = k

képtávolság, és meghatározható az

N = K_{3} / T

nagyítás.

3. ábra

Látjuk, hogy a rendszer homorú tükörként viselkedik. Ha a már ismert

t

T

k_{3}

K_{3}

segítségével berajzoljuk e helyettesítő tükör megfelelő sugármenetét, az eredő fókusztávolság is leolvasható (4. ábra).

4. ábra

A szerkesztést a többi esetben is ugyanilyen elven lehet végrehajtani.

Schlosser Tamás (Bp., Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)