Feladat: 1017. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Schlosser Tamás 
Füzet: 1972/április, 185 - 187. oldal  PDF file
Témakör(ök): Lencsék, Gömbtükör, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/november: 1017. fizika feladat

Vékony lencséhez közvetlenül illesztünk egy kis nyílásszögű gömbtükröt. Mekkora ennek az optikai rendszernek az eredő fókusztávolsága? Igazoljuk, hogy itt is igaz az 1/t+1/k=1/f összefüggés! Vizsgáljuk meg, milyen feltételek mellett lesz egyenértékű az optikai rendszer egy homorú, illetve egy domború tükörrel! (Adottak a lencse és a tükör geometriai adatai és a lencse anyagának törésmutatója.) Állapítsuk meg számítással és szerkesztéssel az eredő fókusztávolságot, a keletkezett képek távolságát és a nagyítást a következő adatok esetén, minden lehetséges változatban: flencse=±6 cm; ftükör=±5 cm; t=16 cm.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először vizsgáljunk egy n db vékony lencséből álló optikai rendszert! Legyen az i-edik lencse fókusztávolsága fi, tárgytávolsága ti, képtávolsága ki. A vékony lencsék vastagsága ‐ definíciójuk értelmében ‐ elhanyagolható, így az öszeillesztett lencsék síkjai egybeesnek. Emiatt az egymás után következő lencsékre mindig igaz a

ti+1=-ki,(1)
egyenlőség. Mindegyik lencsére felírva a leképzési törvényt, és az egyenleteket összeadva:
i=1n1fi=i=1n1ti+i=1n1ki.(2)
(1) miatt azonban
i=1n1ti+i=1n1ki=1t1+1kn.
Mivel a lencserendszer egészére vonatkoztatott tárgytávolság t=t1, képtávolság k=kn, az egész rendszer helyettesíthető egy f=1(1/fi) fókusztávolságú lencsével, melyre (2) alapján igaz a leképzési törvény:
1f=1t+1k.(3)
Az így választott f tényleg a klasszikus értelemben vett fókusztávolság, hiszen a leképzési törvény teljesüléséből a párhuzamos fénysugarakra (t=) közvetlenül adódik a k=f egyenlőség.
Az adott elrendezésben a fénysugár kétszer áthalad a lencsén és egyszer visszaverődik a gömbtükörről. Mivel a leképzési törvény kis nyílásszögű gömbtükörre is érvényes, és a tükör közvetlenül illeszkedik a lencséhez, az adott rendszer helyettesíthető egy három vékony lencséből álló optikai rendszerrel. A helyettesítő rendszernél ‐ a tükör hiánya miatt ‐ a képalkotás az ellenkező oldalon történik.
A lencse, ill. tükör fókusztávolsága a geometriai adatok és a törésmutató ismeretében
fi=1(n-1)(1/r1+1/r2),(4)ft=r/2.(5)


Az eredő fókusztávolság:

f=11/fi+1/ft+1/fi=12/fi+1/ft(6)


A leképzési törvény előjeleinek megfelelően a homorú tükör fókusztávolsága pozitív, a domború tüköré negatív. Az egész rendszer tehát akkor helyettesíthető homorú tükörrel, ha 1/f>0,
2fi+1fi>0,(n-1)(1r1+1r2)>-1r,
domború tükörrel pedig, ha 1/f<0,
(n-1)(1r1+1r2)<-1r.
Egyenlőség esetén a rendszer síktükörként viselkedik. A gömbtükörrel való helyettesítéskor a képalkotás is a megfelelő oldalon történik.
A lencse és a tükör fókusztávolságának ismeretében, (6) felhasználásával kiszámítható az eredő fókusztávolság, majd a tárgytávolság segítségével (3) alapján a képtávolság. A nagyítás: N=k/t.
A megadott értékek mellett az eredmények:
ft (cm)66-6-6ft (cm)5-5-5-5f  (cm)1,88-7,5-7,5-1,88k  (cm)2,12 14,1-5,12-1,68N0,133-0,881-0,319-0,105t=16  cm

A szerkesztésnél két kiválasztott sugármenetet vizsgálunk. Legyen az egyik az optikai tengellyel párhuzamosan induló sugár, mely a törés, ill. a tükrözés után keresztülhalad a fókuszon, a másik a lencse, ill. a tükör középpontján áthaladó sugár, mely nem változtatja irányát, ill. tükröződik.
A szerkesztés három lépését fi=6 cm, ft=5 cm esetén az ábrák mutatják.
 
 
1. ábra
 

Az 1. ábrán a lencse első képalkotása (K1), a 2. ábrán e kép tükrözése, a virtuális K2 kép szerkesztése látható.
 
 
2. ábra
 

A 3. ábráról közvetlenül leolvasható az utolsó leképezés eredménye, a kérdezett k3=k képtávolság, és meghatározható az N=K3/T nagyítás.
 
 
3. ábra
 

Látjuk, hogy a rendszer homorú tükörként viselkedik. Ha a már ismert t, T, k3, K3 segítségével berajzoljuk e helyettesítő tükör megfelelő sugármenetét, az eredő fókusztávolság is leolvasható (4. ábra).
 
 
4. ábra
 

A szerkesztést a többi esetben is ugyanilyen elven lehet végrehajtani.
 

Schlosser Tamás (Bp., Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)