Feladat: 1011. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kovács Imre ,  Németh György 
Füzet: 1972/április, 180 - 181. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/november: 1011. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk fel tetszőlegesen egy derékszögű koordinátarendszert, amelynek xy-síkja az erők síkja. (Csak síkban szétszórt erők esetére szorítkozunk.) Legyen az erőknek az origóra vonatkoztatott forgatónyomatéka Mi. Az erők síkjának tetszőleges P(x,y) pontjára vonatkozó forgatónyomaték

∑M'i=∑Mi-x∑Fiy+y∑Fix
alakban írható fel (l. a K. M. L. 1971. évi 8-9. számában Mihály László: Sztatikai feladatok megoldása II. c. cikkét).
1. ∑Mi=0 és ∑M'i=0 bármely P(x,y) pontra, s így x és y tetszőleges értéke mellett x∑Fiy-y∑Fix=0, következésképpen ∑Fix=∑Fiy=0. Tehát ∑Fi=0.
 

2. Vegyük fel koordinátarendszerünket úgy, hogy az origója legyen az a pont, amelyre ∑Mi=0. ∑Fi=0 miatt ∑Fix=∑Fiy=0, ezért egy tetszőleges P(x,y) pontra vonatkoztatott forgatónyomaték:
∑M'i=∑Mi-x∑Fiy+y∑Fix=0.

3. Ha a sík A, B, C pontjai azok, amelyek nem esnek egy egyenesre és amelyekre ∑Mi=0, akkor válasszuk úgy koordinátarendszerünket, hogy origója A, x-tengelye az AB egyenes legyen. Ekkor B=B(xB, 0), C=C (xC, yC), ahol xB≠0, yC≠0. A B és C pontra vonatkoztatott forgatónyomaték rendre:
 

∑Mi(B)=-xB∑Fiy=0,
 

∑Mi(C)=-xC∑Fiy+yC∑Fix=0; ahonnan ∑Fiy=∑Fix=0. Tehát ∑Fi=0, és van olyan pont, amelyre ∑Mi=0, ezért a 2. állítás értelmében a sík összes pontjaira ∑Mi=0.
 

Kovács Imre (Kaposvár, Gépipari Szakközépisk., II. o. t.) és
Németh György (Eger, Gárdonyi G. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
 

Megjegyzés. Az állítások a térben tetszőlegesen szétszórt erők hatása alatt álló merev testre is érvényesek, mint az a forgatónyomaték vektor M→=r→×F→ definíciója alapján könnyen belátható.