Feladat: 1011. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kovács Imre ,  Németh György 
Füzet: 1972/április, 180 - 181. oldal  PDF file
Témakör(ök): Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/november: 1011. fizika feladat

Bizonyítsuk be a következő állításokat:
1. A síkban szétszórt erők hatása alatt álló merev test egyensúlyának a test tetszőleges pontjára felírható M=0 feltételből már következik a F=0 feltétel is.
2. Ha valamely merev testre F=0, és létezik olyan pont, amelyre M=0, akkor M=0 a test összes pontjaira.
3. Ha a merev test három, nem egy egyenesbe eső pontjára M=0, akkor ebből M=0 és F=0 is következik a test összes pontjára.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk fel tetszőlegesen egy derékszögű koordinátarendszert, amelynek xy-síkja az erők síkja. (Csak síkban szétszórt erők esetére szorítkozunk.) Legyen az erőknek az origóra vonatkoztatott forgatónyomatéka Mi. Az erők síkjának tetszőleges P(x,y) pontjára vonatkozó forgatónyomaték

M'i=Mi-xFiy+yFix
alakban írható fel (l. a K. M. L. 1971. évi 8-9. számában Mihály László: Sztatikai feladatok megoldása II. c. cikkét).
1. Mi=0 és M'i=0 bármely P(x,y) pontra, s így x és y tetszőleges értéke mellett xFiy-yFix=0, következésképpen Fix=Fiy=0. Tehát Fi=0.
 

2. Vegyük fel koordinátarendszerünket úgy, hogy az origója legyen az a pont, amelyre Mi=0. Fi=0 miatt Fix=Fiy=0, ezért egy tetszőleges P(x,y) pontra vonatkoztatott forgatónyomaték:
M'i=Mi-xFiy+yFix=0.

3. Ha a sík A, B, C pontjai azok, amelyek nem esnek egy egyenesre és amelyekre Mi=0, akkor válasszuk úgy koordinátarendszerünket, hogy origója A, x-tengelye az AB egyenes legyen. Ekkor B=B(xB, 0), C=C (xC, yC), ahol xB0, yC0. A B és C pontra vonatkoztatott forgatónyomaték rendre:
 

Mi(B)=-xBFiy=0,
 

Mi(C)=-xCFiy+yCFix=0; ahonnan Fiy=Fix=0. Tehát Fi=0, és van olyan pont, amelyre Mi=0, ezért a 2. állítás értelmében a sík összes pontjaira Mi=0.
 

Kovács Imre (Kaposvár, Gépipari Szakközépisk., II. o. t.) és
Németh György (Eger, Gárdonyi G. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
 

Megjegyzés. Az állítások a térben tetszőlegesen szétszórt erők hatása alatt álló merev testre is érvényesek, mint az a forgatónyomaték vektor M=r×F definíciója alapján könnyen belátható.