Kezdőlap


Feladat:	1004. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tegze Miklós
Füzet:	1972/március, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Hajítások, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/október: 1004. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az ütközések teljesen rugalmasak, így minden ütközés után a felületre merőleges sebességkomponens ugyanolyan nagyságú, mint az ütközés előtt, csak ellentétes irányú. Az energiamegmaradás törvénye értelmében, ha a golyó a gödör fenekétől $b$ magasságra van, akkor a sebessége mindig $v$ . Mivel a golyóra ható súlyerő vízszintes komponense zérus, azért az ilyen irányú sebességkomponens nagysága állandó. A golyó függőleges irányú gyorsulása $g$ .
a) A golyó csak úgy juthat ki a gödörből, ha van a mozgása során egy olyan pillanat, amikor a gödör aljától $b$ magasságban éppen a gödör széléhez ér. Eközben az $a$ utat $x$ -szer tette meg (ha $x$ az oldalfalakon való ütközés eggyel növelt száma), függőlegesen a $b$ utat pedig $y$ -szor járta be le és föl (ha $y$ a gödör fenekén való ütközések száma). Itt $x$ , $y ≧ 1$ egész számok. Az $a$ , ill. a $2 b$ út megtételéhez $t_{a} = a / v$ , ill. $t_{b} = 2 \sqrt[]{2 b / g}$ időre van szükség. A gödörben töltött idő: $t = x t_{a} = y t_{b}$ , azaz

\begin{matrix} t = x \frac{a}{v} = 2 y \sqrt[]{\frac{2 b}{g}} . Innen \frac{a}{2 v} \sqrt[]{\frac{g}{2 b}} = \frac{y}{x} . \end{matrix}

(1)

Tehát az a kijutás feltétele, hogy az (1) bal oldalán álló kifejezés pozitív racionális szám legyen. Ha

x

páros szám, akkor a golyó azon az oldalon jön ki a gödörből, amelyiken beesett, ha

x

páratlan, akkor a golyó az ellenkező oldalon repül ki.
b) Az

y = 1

esetben (1)-ből

\begin{matrix} v = \frac{a}{2} x \sqrt[]{\frac{g}{2 b}}, ahonnan a = b = 20 m, g = 10 {m/s}^{2} \end{matrix}

értékekkel

v = 5 x

(

m

/s) adódik, ahol

x = 1

, 2, 3,

...

c) Az

y = 3

esetben (1)-ből

b

-t kifejezve

\begin{matrix} b = \frac{g a^{2}}{72 v^{2}} x^{2} . \end{matrix}

Numerikusan:

a = 10 m

v = 10 / 6 m/s

b = 5 x^{2} (m)

.
d) A pályát úgy rajzolhatjuk meg, hogy megrajzoljuk a

v

kezdősebességhez tartozó esési parabolát és rá méretarányosan a gödör körvonalait. Ahol a parabola a függőleges falat metszi, ott a további darabját tükrözzük a falra; ahol pedig a feneket éri, ott az előző parabolaívet tükrözzük a beesési merőlegesre stb.

Az 1., 2. és 3. ábra a golyó pályáját tünteti fel rendre az alábbi esetekben:

\begin{matrix} 1. a = 10 m, & b = 20 m, & v = 10 / 6 & m/s; \\ 2. a = 10 m, & b = 20 m, & v = 10 & m/s; \\ 3. a = 10 m, & b = 20 m, & v = 7, 5 & m/s; \end{matrix}

1. ábra

2. ábra

3. ábra

Tegze Miklós (Bp., Kölcsey F. Gimn., III. o. t.)