Feladat: 978. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bodnár István 
Füzet: 1972/január, 35 - 36. oldal  PDF file
Témakör(ök): Összetartó erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/április: 978. fizika feladat

Egy három rúdból és három kötélből álló szabályos tetraédert a kötelek találkozási pontjánál felfüggesztünk, majd a rudak feléhez kötött kötelekből alkotott szabályos tetraéder csúcsára G súlyt függesztünk. Mekkora és milyen irányú erők hatnak a rudakra, ha azok egymáshoz az ábra szerinti elrendezés mellett súrlódásimentesen támaszkodnak, továbbá a rudak és a kötelek súlytalanok?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szerkezet akkor lehet egyensúlyban, ha azt az E pontban G erővel húzzuk függőlegesen felfelé (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Az E és D pontban ható G erővel a három (szimmetrikusan elhelyezett) kötélág tart egyensúlyt, ezért a köteleket feszítő erő függőleges komponense G/3. Ebből geometriai azonosságok felhasználásával kapjuk, hogy a kötélerő K=G/6. Ez az erő hat a rudak felezőpontjánál.
Ha az A, B, C elágazási pontokra írjuk fel az egyensúly feltételét, és felhasználjuk, hogy az alsó kötélágak α0-os szöget zárnak be, akkor azt kapjuk, hogy a rudakat végüknél a kötél K'=G/26 erővel húzza.
Végül kiszámíthatjuk, hogy az illeszkedő rudak mekkora erővel tolják egymást. Newton III. törvényét felhasználva megállapíthatjuk, hogy ez az erő a súrlódás hiánya és a szimmetriák miatt az alapháromszög megfelelő szögfelezőjére merőleges irányú.
 
 
2. ábra
 

Az egyik rúdra ható erők (2. ábra) vízszintes komponenseinek rúdra merőleges összetevőire felírjuk az egyensúly feltételét:
212G62+G32=232R.
Ebből R=G/26.
A rudakra tehát a végüknél a felfüggesztő kötél kötélirányú G/26 nagyságú kötélirányú erővel, a végüknél a szomszédos rúd a szögfelezőre merőleges G/26 nagyságú erővel, a felezőpontjuknál a kötél kötélirányú G/6 nagyságú erővel hat.
A feladat megoldásában a forgatónyomatéki egyenletek helyett szimmetriamegoldásokat használtunk.
 

Bodnár István (Eger, Gárdonyi G. Gimn., III. o. t.)