Kezdőlap


Feladat:	962. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Főző Csaba
Füzet:	1971/november, 179 - 180. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Tömegközéppont helye, Csúszásmentes (tiszta) gördülés, Gördülés lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/február: 962. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyensúly szükséges feltétele, hogy a testre ható erők bármely pontra vonatkoztatott forgatónyomatékainak az összege $0$ legyen. Legyen a vonatkoztatási pont az $E$ alátámasztási pont. Mivel a lejtő által kifejtett erők hatásvonalai átmennek ezen a ponton, a feltétel csak úgy teljesülhet, ha a súly-erő hatásvonala, az $S$ súlyponton átmenő függőleges egyenes is átmegy az $E$ ponton.

1. ábra

Ekkor (1. ábra) az

O E S ∢ = α

, az

O S E ∢ = 180^{\circ} - β

O S E Δ

-re írjuk fel a szinusztételt:

\begin{matrix} \frac{a}{R} = \frac{sin α}{sin (180^{\circ} - β)} = \frac{sin α}{sin β}, (a = \bar{O S}) \\ sin β = (R / a) \cdot sin α . \end{matrix}

a

értékét a következőképpen számítjuk ki:

\begin{matrix} (\frac{4 R}{3 π} + a) ϱ_{1} = (\frac{4 R}{3 π} - a) ϱ_{2}, (ϱ_{2} > ϱ_{1}) \\ a (ϱ_{2} + ϱ_{1}) = \frac{4 R}{3 π} (ϱ_{2} - ϱ_{1}), a = \frac{4 R}{3 π} \frac{ϱ_{2} - ϱ_{1}}{ϱ_{2} + ϱ_{1}} . \end{matrix}

A keresett szög szinusza:

sin β = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{ϱ_{2} + ϱ_{1}}{ϱ_{2} - ϱ_{1}} \cdot sin α

sin β \leq 1

, tehát

\frac{3 π}{4} \cdot \frac{ϱ_{2} + ϱ_{1}}{ϱ_{2} - ϱ_{1}} sin α \leq 1

sin α ≦ \frac{4}{3 π} \cdot \frac{ϱ_{2} - ϱ_{1}}{ϱ_{2} + ϱ_{1}}

.

Ez annak a feltétele, hogy egyensúly egyáltalán létrejöhessen.

Főző Csaba (Sopron, József A. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Vizsgáljuk meg stabilitás szempontjából a lehetséges egyensúlyi helyzeteket. Mivel megcsúszás nem lehetséges, tehát a korong a lejtővel érintkező, alkotójának sebességé mindig

0

, tekinthetjük ezt az alkotót igen rövid ideig rögzített tengelynek. Így elég megnézni, hogy ha a korongot kicsit kimozdítjuk az egyensúlyi helyzetből milyen irányú forgatónyomaték hat erre az ún. pillanatnyi forgástengelyre.
Az egyensúlyt leíró

sin β = \frac{R \cdot sin α}{a}

egyenletnek általában 2 megoldása van:

β_{1} < 90^{\circ}

és

β_{2} = 180^{\circ} - β_{1}

. Az első esetben kis kimozdítás esetén a súlypont úgy mozdul el a pillanatnyi forgástengely fölül, hogy a súlyerő fellépő forgatónyomatéka a korongot visszaforgatni igyekszik. Tehát az egyensúly stabilis (2. ábra).

2. ábra

A második esetben a fellépő forgatónyomaték tovább forgatja a korongot, tehát az egyensúly labilis (3. ábra).

3. ábra

Ha lefelé mozdítottuk ki a korongot, az le is gördül. Viszont ha felfelé mozdítottuk ki, csak addig gurul felfelé, míg az első egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor irányt változtatott forgatónyomaték le nem fékezi. Így a korong az első egyensúly körül rezegni fog. Abban a speciális esetben, ha

a = R \cdot sin α

, tehát

β_{1} = β_{2} = 90^{\circ}

, akármerre kimozdítva a korongot, a forgatónyomaték lefelé forgat (4. ábra), tehát elengedve a korongot, az mindenképpen legördül.

4. ábra

(Lásd még a 691. feladat megoldását az 1968. évi 2. számban.)