Kezdőlap


Feladat:	943. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Iglói Ferenc , Klebniczki József , Nagy István , Szlacsányi Kornél , Zámolyi Ferenc
Füzet:	1971/május, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tehetetlenségi nyomaték, Úszás-stabilitás, Egyéb felhajtóerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/november: 943. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hasáb akkor lesz stabilis egyensúlyi helyzetben, ha kis $α$ szöggel való kimozdítás esetén a fellépő forgatónyomaték a testet eredeti helyzetébe visszaforgatni igyekszik. Az úszó testre a súlypontjában $G = m g$ súlyerő, a kiszorított víz súlypontjában $F = - m g$ felhajtóerő hat. Az egyensúlyi helyzetéből kibillentett hasáb esetén a két erő erőpárt alkot, melynek forgatónyomatéka a hatásvonalak távolságának ismeretében meghatározható.
A folyadék és a hasáb sűrűségének aránya $2 : 1$ , ezért a hasáb súlypontja a folyadék szintjében lesz. Mivel a hasáb homogén, elég egy síkmetszetet vizsgálnunk.

Vegyük fel az ábrán látható koordinátarendszert! Ebben az erők hatásvonalainak távolsága megegyezik a kiszorított víz súlypontjának

x_{s}

koordinátájával. Bontsuk az

A B D E

trapézt az ábrán látható módon egy

A B C E

paralelogrammára és

C D E

háromszögre! Jelölje

x_{1}

a paralelogramma súlypontjának

x

koordinátáját,

T_{1}

a területét,

x_{2}

és

T_{2}

pedig ugyanezeket a mennyiségeket a

C D E

háromszögre. Ekkor:

\begin{matrix} x_{s} = \frac{x_{1} T_{1} + x_{2} T_{2}}{T_{1} + T_{2}} . \end{matrix}

Az ábra segítségével a képletben szereplő mennyiségek egyszerűen megkaphatók:

\begin{matrix} x_{1} = \frac{1}{4} (b tg α - a) sin α, \\ x_{2} = \frac{1}{6} {b (\frac{1}{cos α} + tg α \cdot sin α) - a (sin α + 2 tg α)}, \\ T_{1} = \frac{b}{2} (a - b tg α), T_{2} = \frac{b^{2}}{2} tg α . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

a ≪ 1

esetén:

sin α \approx tg α

, és

cos α \approx \frac{1}{cos α} \approx 1

, és az

α

-ban lineárisnál magasabbrendű tagokat elhanyagolva

\begin{matrix} x_{3} = \frac{1}{4 a} (\frac{2}{3} b^{2} - a^{2}) α \end{matrix}

adódik. A fellépő forgatónyomaték:

\begin{matrix} M = - m g x_{s} = - \frac{m g α}{4 a} (\frac{2}{3} b^{2} - a^{2}) = - M^{*} α . \end{matrix}

(1)

Az egyensúly stabilis, ha

\begin{matrix} M^{*} > 0, ami \frac{b}{a} > \sqrt[]{\frac{3}{2}} \end{matrix}

(2)

fennállása esetén teljesül.
(1)-ből látható, hogy a forgatónyomaték a szögkitéréssel arányos, a mozgás tehát harmonikus rezgőmozgás lesz. Felhasználva, hogy a hasáb tehetetlenségi nyomatéka

\begin{matrix} Θ = \frac{1}{12} m (a^{2} + b^{2}), \end{matrix}

a rezgésidő

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ}{M^{*}}} = 2 π \sqrt[]{\frac{a (a^{2} + b^{2})}{g (2 b^{2} - 3 a^{2})}} . \end{matrix}

A feladat numerikus adataival:

T = 0, 14 s

Szlacsányi Kornél (Bp., Berzsenyi D. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A súlyponton átmenő,

b

hosszúságú oldaléllel párhuzamos tengelyre vonatkozó egyensúly akkor lesz stabilis, ha

\frac{l}{a} > \sqrt[]{\frac{3}{2}}

. Mivel

l > b

, (2) fennállása esetén ez a feltétel automatikusan teljesül.

2. Ha a hasáb

ϱ

sűrűsége nem egyezik meg

\frac{ϱ_{0}}{2}

-vel, akkor (2) helyébe a

\begin{matrix} \frac{b}{a} > \sqrt[]{6 \frac{ϱ}{ϱ_{0}} (1 - \frac{ϱ}{ϱ_{0}})} \end{matrix}

feltétel lép.

Iglói Ferenc (Szeged, Radnóti M. Gimn., III. o. t.)

3. A legtöbb megoldó forgási rezgés helyett függőleges irányú rezgést vizsgált. Dolgozatuk 2 pontot kapott.

4. A valóságban a rezgésidő nagyobb a fentebb számítottnál, mivel a hasábon kívül a víz egy része is mozgásba jön.