Kezdőlap


Feladat:	919. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dombi Gábor , Gál Péter , Hadik Róbert , Mihály György , Sailer Kornél , Varga Zsuzsanna , Vassel Róbert , Walther Tamás
Füzet:	1971/február, 92 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb változó áram, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/május: 919. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő az áramerősséget vizsgálni, a tisztán ohmos ellenálláson megjelenő feszültség minden időpillanatban egyenlő az áram $R_{T}$ -szeresével.
Oldjuk meg a feladatot úgy, hogy nem teszünk kikötést a szaggató periódusidejére! Legyen $T = 1 / f$ a szaggatás periódusideje, jelöljük az áramkör $\frac{L}{R + R_{T}}$ időállandóját $τ$ -val.
Ha a kapcsoló $2$ -es állásba való átkapcsolásának pillanatában $I^{(2)}$ áram folyik át a tekercsen, akkor $t$ idő múlva

\begin{matrix} i (t) = I^{(2)} e^{- t / τ} \end{matrix}

(1)

lesz az áramerősség. Ha az

1

-es állásba való visszakapcsolás pillanatában

I^{(1)}

áram folyik az áramkörben, akkor az átkapcsolás után történteket két folyamat szuperpozíciójának tekinthetjük. Egyrészt az

I^{(1)}

áram exponenciálisan csökken, másrészt a telep exponenciálisan közelíti az egyensúlynak megfelelő

\frac{U}{R + R_{τ}} = I_{0}

áramerősséget. Az eredő áram:

\begin{matrix} i (t) = I^{(1)} e^{- t / τ} + \frac{U}{R + R_{τ}} (1 - e^{- t / τ}) . \end{matrix}

(2)

A tekercsen folyó áram nem változhat hirtelen, ezért az átkapcsolás előtti és utáni áramerősségek megegyeznek. Jelöljük a kapcsoló

k

-adszori

2

-es, illetve

1

-es állásba váltásakor folyó áramot

I_{k}^{(2)}

-vel, ill.

I_{k}^{(1)}

-gyel! Ekkor (1) és (2)

t = T

időpontbeli értékei a következő rekurziós összefüggéseket szolgáltatják:

\begin{matrix} I_{k}^{(2)} & = I_{k - 1}^{(1)} e^{- T / τ} + \frac{U}{R + R_{T}} (1 - e^{- T / τ}), & (3) \\ I_{k}^{(1)} & = I_{k}^{(2)} e^{- T / τ} & (4) \end{matrix}

feltéve, hogy a kapcsoló kezdetben az

1

-es állásban volt.
Tegyük fel, hogy a kapcsoló

t = 0

-ban az

1

-es állásban van és a tekercsen nem folyik áram. Ez az

I_{0}^{(1)} = 0

kezdeti feltételnek felel meg. A (3) és (4) egyenletek alapján megkaphatjuk

I_{k}^{(1)}

és

I_{k}^{(2)}

értékét zárt alakban is.

\begin{matrix} I_{k}^{(2)} = \frac{U}{R + R_{T}} (1 - e^{- T / τ}) (1 + e^{- 2 T / τ} + e^{- 4 T / τ} ... + e^{- 2 (k - 1) T / τ}) . \end{matrix}

Felhasználva a mértani sor összegképletét:

\begin{matrix} I_{k}^{(2)} = \frac{U}{R + R_{T}} (1 - e^{- T / τ}) \frac{1 - e^{- 2 k T / τ}}{1 - e^{- 2 T / τ}} = \frac{U}{R + R_{T}} \cdot \frac{1 - e^{- 2 k T / τ}}{1 + e^{- T / τ}} . \end{matrix}

(4) alapján:

\begin{matrix} I_{k}^{(1)} = \frac{U}{R + R_{T}} \cdot \frac{1 - e^{- 2 k T / τ}}{1 + e^{- 2 T / τ}} e^{- T / τ} = \frac{U}{R + R_{T}} \cdot \frac{1 - e^{- 2 k T / τ}}{1 + e^{- T / τ}} . \end{matrix}

Ezzel megkaptuk az átkapcsolások pillanatában folyó áramerősségeket, két átkapcsolás közt pedig (1) és (2) érvényes.
Vizsgáljuk meg a két határesetet!
a) Ha

T ≫ τ

, akkor

e^{- T / τ}

és

e^{- k T / τ}

jó közelítéssel nulla, és így

I_{k}^{(2)} \approx \frac{U}{R + R_{T}}

I_{k}^{(1)} \approx 0

. Az átkapcsolások után az áram hirtelen eléri a maximális

I_{0}

, illetve a nulla értéket (1. ábra).

1. ábra

b) Ha

T ≪ τ

, akkor

e^{- T / τ} \approx 1

e^{- k T / τ}

-ról viszont csak kis

k

-ra állíthatjuk, hogy

e^{- T / τ} \approx 1

.Ilyenkor

I_{k}^{(1)} \approx I_{k}^{(2)} \approx 0

. Amennyiben kíváncsiak vagyunk arra, hogy mennyiben tér el az áram nullától, úgy

e^{- 2 k T / τ}

helyére

1

helyett a pontosabb

1 - 2 k T / τ

kifejezést kell írnunk. Így

\begin{matrix} I_{k}^{(1)} \approx I_{k}^{(2)} \approx \frac{U}{R + R_{T}} \cdot \frac{k T}{τ} . \end{matrix}

Az áramkörben lépcsőzetesen növekszik az áram a 2. ábrán látható módon.

2. ábra

Nagyon sok kapcsolgatás után

(k T \approx t) e^{- 2 k T / τ} \approx 0

, ilyenkor

\begin{matrix} I_{k}^{(1)} \approx I_{k}^{(2)} \approx \frac{U}{2 R + R_{T}} = I_{0} / 2. \end{matrix}

Az áramerősség tehát az

I_{0} / 2

érték körül ingadozik.

Varga Zsuzsanna (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t. )