Feladat: 919. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Dombi Gábor ,  Gál Péter ,  Hadik Róbert ,  Mihály György ,  Sailer Kornél ,  Varga Zsuzsanna ,  Vassel Róbert ,  Walther Tamás 
Füzet: 1971/február, 92 - 93. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb változó áram, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/május: 919. fizika feladat

Egy mechanikus szaggató f frekvenciával kapcsolja át a K kapcsolót az 1. állásból a 2. állásba. Milyen alakú az RT ellenálláson megjelenő áram, illetve feszültség, ha a kör időállandója a szaggatás periódusidejéhez képest nagyon kicsi, illetve nagyon nagy? (Lásd a 808. feladat megoldását!)
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő az áramerősséget vizsgálni, a tisztán ohmos ellenálláson megjelenő feszültség minden időpillanatban egyenlő az áram RT-szeresével.
Oldjuk meg a feladatot úgy, hogy nem teszünk kikötést a szaggató periódusidejére! Legyen T=1/f a szaggatás periódusideje, jelöljük az áramkör LR+RT időállandóját τ-val.
Ha a kapcsoló 2-es állásba való átkapcsolásának pillanatában I(2) áram folyik át a tekercsen, akkor t idő múlva

i(t)=I(2)e-t/τ(1)
lesz az áramerősség. Ha az 1-es állásba való visszakapcsolás pillanatában I(1) áram folyik az áramkörben, akkor az átkapcsolás után történteket két folyamat szuperpozíciójának tekinthetjük. Egyrészt az I(1) áram exponenciálisan csökken, másrészt a telep exponenciálisan közelíti az egyensúlynak megfelelő UR+Rτ=I0 áramerősséget. Az eredő áram:
i(t)=I(1)e-t/τ+UR+Rτ(1-e-t/τ).(2)
A tekercsen folyó áram nem változhat hirtelen, ezért az átkapcsolás előtti és utáni áramerősségek megegyeznek. Jelöljük a kapcsoló k-adszori 2-es, illetve 1-es állásba váltásakor folyó áramot Ik(2)-vel, ill. Ik(1)-gyel! Ekkor (1) és (2) t=T időpontbeli értékei a következő rekurziós összefüggéseket szolgáltatják:
Ik(2)=Ik-1(1)e-T/τ+UR+RT(1-e-T/τ),(3)Ik(1)=Ik(2)e-T/τ(4)
feltéve, hogy a kapcsoló kezdetben az 1-es állásban volt.
Tegyük fel, hogy a kapcsoló t=0-ban az 1-es állásban van és a tekercsen nem folyik áram. Ez az I0(1)=0 kezdeti feltételnek felel meg. A (3) és (4) egyenletek alapján megkaphatjuk Ik(1) és Ik(2) értékét zárt alakban is.
Ik(2)=UR+RT(1-e-T/τ)(1+e-2T/τ+e-4T/τ...+e-2(k-1)T/τ).
Felhasználva a mértani sor összegképletét:
Ik(2)=UR+RT(1-e-T/τ)1-e-2kT/τ1-e-2T/τ=UR+RT1-e-2kT/τ1+e-T/τ.
(4) alapján:
Ik(1)=UR+RT1-e-2kT/τ1+e-2T/τe-T/τ=UR+RT1-e-2kT/τ1+e-T/τ.
Ezzel megkaptuk az átkapcsolások pillanatában folyó áramerősségeket, két átkapcsolás közt pedig (1) és (2) érvényes.
Vizsgáljuk meg a két határesetet!
a) Ha Tτ, akkor e-T/τ és e-kT/τ jó közelítéssel nulla, és így Ik(2)UR+RT, Ik(1)0. Az átkapcsolások után az áram hirtelen eléri a maximális I0, illetve a nulla értéket (1. ábra).
 
 
1. ábra
 

b) Ha Tτ, akkor e-T/τ1, e-kT/τ-ról viszont csak kis k-ra állíthatjuk, hogy e-T/τ1.Ilyenkor Ik(1)Ik(2)0. Amennyiben kíváncsiak vagyunk arra, hogy mennyiben tér el az áram nullától, úgy e-2kT/τ helyére 1 helyett a pontosabb 1-2kT/τ kifejezést kell írnunk. Így
Ik(1)Ik(2)UR+RTkTτ.
Az áramkörben lépcsőzetesen növekszik az áram a 2. ábrán látható módon.
 
 
2. ábra
 

Nagyon sok kapcsolgatás után (kTt)e-2kT/τ0, ilyenkor
Ik(1)Ik(2)U2R+RT=I0/2.
Az áramerősség tehát az I0/2 érték körül ingadozik.
 

Varga Zsuzsanna (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t. )