Kezdőlap


Feladat:	917. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Vassel Róbert
Füzet:	1971/február, 89 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbtükör, Fényvisszaverődés, Geometriai szerkesztések alkalmazása, Hiperbola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/május: 917. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A síktükör hasonló problémájából kiindulva megszerkesztjük az adott $A$ pont $K$ képét (1. ábra).

1. ábra

B K

lesz a visszavert fénysugár, tehát a visszaverődés

X

pontban történt.
Szerkesztésünk csak közelítő pontosságú, mert a gömbtükör leképezési törvénye nem pontos. Pontos eljárás céljából koordináta-rendszerünk origóját a gömbtükör középpontjába helyezzük (2. ábra).

2. ábra

A

és

B

koordinátái

x_{1}, y_{1}

, illetve

x_{2}

y_{2}

x

y

egy olyan

X

pont koordinátái, amely ponthoz tartozó rádiusszal a fénysugarak egyenlő szögeket zárnak be. Ekkor

β - γ = γ - α

, így

α + β = 2 γ

. Vegyük a kapott egyenlőség két oldalának tangensét:

\begin{matrix} \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β} = \frac{2 tg γ}{1 - {tg}^{2} γ} . \end{matrix}

Koordinátákkal felírva:

\begin{matrix} tg α = \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}}, tg β = \frac{y - y_{2}}{x - x_{2}}, tg γ = \frac{x}{y} . \end{matrix}

Az előbbi egyenletbe ezeket behelyettesítve, rendezés után kapjuk

x^{2} + y^{2} = r^{2}

figyelembevételével

\begin{matrix} (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}) (x^{2} - y^{2}) - 2 (x_{1} x_{2} - y_{1} y_{2}) x y + r^{2} [(x_{1} + x_{2}) y - (y_{2} + y_{2}) x] = 0. \end{matrix}

Ez egy hiperbola egyenlete, egyébként a fentiek szerint azon pontok mértani helye, ahonnan az

A

és

B

pontokba menő egyenesek a gömb rádiuszával egyenlő szögeket zárnak be. Ezt a görbét kell a gömbtükör körével metszeni és megtaláltuk a keresett pontot. Így érthető, hogy a kérdezett pontot általában nem lehet euklideszi szerkesztéssel pontosan megszerkeszteni. A hiperbola két pontban metszi a kört és mindegyik metszéspont megoldást jelent.

3. ábra

3. ábránk arra az esetre érvényes, ha

r = 10 cm

x_{1} = - 5 cm

y_{1} = 3 cm

x_{2} = - 2 cm

y_{2} = - 1 cm

. Az

X_{0}

metszéspont kissé eltér a közelítő szerkesztéssel kapott

X

ponttól.

Ali Hasszan Ibn al Haitham arabul író tudós a középkorban optikával foglalkozó tudósok közül a legkiválóbb volt. Ezt a tőle származó feladatot lényegében véve ezen a módon oldotta meg.

Vassel Róbert (Bp., I. István Gimn., II. o. t. )