Feladat: 917. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Vassel Róbert 
Füzet: 1971/február, 89 - 91. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gömbtükör, Fényvisszaverődés, Geometriai szerkesztések alkalmazása, Hiperbola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/május: 917. fizika feladat

Egy homorú gömbtükör belsejében adva van A és B pont. Az A pontból kiindul egy fénysugár és a gömbtükrön visszaverődve B-be jut. Szerkesszük meg a gömbtükör azon pontját, ahol a visszaverődés történik!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A síktükör hasonló problémájából kiindulva megszerkesztjük az adott A pont K képét (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

BK lesz a visszavert fénysugár, tehát a visszaverődés X pontban történt.
Szerkesztésünk csak közelítő pontosságú, mert a gömbtükör leképezési törvénye nem pontos. Pontos eljárás céljából koordináta-rendszerünk origóját a gömbtükör középpontjába helyezzük (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

A és B koordinátái x1,y1, illetve x2, y2, x, y egy olyan X pont koordinátái, amely ponthoz tartozó rádiusszal a fénysugarak egyenlő szögeket zárnak be. Ekkor β-γ=γ-α, így α+β=2γ. Vegyük a kapott egyenlőség két oldalának tangensét:
tgα+tgβ1-tgαtgβ=2tgγ1-tg2γ.
Koordinátákkal felírva:
tgα=y-y1x-x1,tgβ=y-y2x-x2,tgγ=xy.
Az előbbi egyenletbe ezeket behelyettesítve, rendezés után kapjuk x2+y2=r2 figyelembevételével
(x1y2+x2y1)(x2-y2)-2(x1x2-y1y2)xy+r2[(x1+x2)y-(y2+y2)x]=0.
Ez egy hiperbola egyenlete, egyébként a fentiek szerint azon pontok mértani helye, ahonnan az A és B pontokba menő egyenesek a gömb rádiuszával egyenlő szögeket zárnak be. Ezt a görbét kell a gömbtükör körével metszeni és megtaláltuk a keresett pontot. Így érthető, hogy a kérdezett pontot általában nem lehet euklideszi szerkesztéssel pontosan megszerkeszteni. A hiperbola két pontban metszi a kört és mindegyik metszéspont megoldást jelent.
 
 
3. ábra
 

3. ábránk arra az esetre érvényes, ha r=10cm, x1=-5cm, y1=3cm, x2=-2cm, y2=-1cm. Az X0 metszéspont kissé eltér a közelítő szerkesztéssel kapott X ponttól.
 

Ali Hasszan Ibn al Haitham arabul író tudós a középkorban optikával foglalkozó tudósok közül a legkiválóbb volt. Ezt a tőle származó feladatot lényegében véve ezen a módon oldotta meg.
 

Vassel Róbert (Bp., I. István Gimn., II. o. t. )