Feladat: 906. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baranyai László ,  Bodnár István ,  Karkó Cecília ,  Nagy Péter ,  Ráskai Ferenc ,  Reviczky János ,  Soltész Katalin ,  Szuromi László ,  Túri Erzsébet 
Füzet: 1971/január, 40 - 42. oldal  PDF file
Témakör(ök): Erők forgatónyomatéka, Összetartó erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/április: 906. fizika feladat

Két, egymással párhuzamos vízszintes sínen egy henger gördülhet. A hengeren egy fonál úgy van átvetve, hogy síkja párhuzamos a két sínnel. a fonalat G, illetve Q súly feszíti az ábrán látható módon. milyen helyzetben lesz egyensúlyban a rendszer?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy a súrlódási erő elég nagy ahhoz, hogy a henger ne csússzék meg a sínen, valamint a kötél sem csúszik a hengeren. Ekkor a rendszer úgy lehet egyensúlyban, ha a hengerre ható erők és forgatónyomatékok összege egyaránt nulla.

 

 

A G test akkor van egyensúlyban, ha a bal oldali kötélrészben G erő hat, a Q test pedig akkor, ha a jobb oldali kötélrészben ható erő Q2cosα. A hengerre ható erők vízszintes komponensei egyensúlyának feltétele:
Q2cosαsinα-S=0.
A henger tengelyére vonatkozó forgatónyomatékok egyensúlya:
Q2cosαr+Sr-Gr=0.
E két egyenletből álló egyenletrendszert megoldva az egyensúly helyzetére a
cosα=4GQ4G2+Q2,vagysinα=4G2-Q24G2+Q2
feltételt kapjuk.
 

Taglalás: Mivel sinα0, ezért 4G2-Q24G2+Q20. Innen a 2GQ feltételt kapjuk. 2G=Q esetén a kötélszárak függőlegesek. Ha 2G<Q, akkor a henger a kötél rögzített végéhez gördül, és a súrlódási együttható nagyságától függően vagy megáll, vagy addig forog egy helyben, amíg a kötél le nem szalad róla.
Az egyensúly feltétele még, hogy a súrlódási erő elég nagy legyen a kötélerő vízszintes komponensének ellensúlyozására. Ha a henger súlya elhanyagolható, a henger G+Q2 erővel nyomja a sínt, tehát
S(G+Q2)μ,Qsinα2cosα(G+Q2)μ,


innen sinα és cosα értékének behelyettesítésével
μ2G-Q4G.

Nagy Péter (Budapest, Petőfi S. Gimn., II. o. t.)
 

II. megoldás. A henger elmozdulásának pillanatnyi forgástengelye az A pont, így a nyugalom feltétele az, hogy az erre a pontra vonatkozó forgatónyomatékok összege 0 legyen:
rG=kQ2cosα.
De k=r(1+sinα), így
rG=Qr21+sinαcosα,
innen megfelelő átalakításokkal
sinα=4G2-Q24G2+Q2.

Reviczky János (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)