Kezdőlap


Feladat:	900. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gál Péter , Gyimesi Miklós , Horváth László , Szili László , Vermes András
Füzet:	1970/december, 238 - 239. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Nyomóerő, kötélerő, Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/március: 900. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A lejtőn levő kocsira a mozgás irányában a saját súlyának lejtő menti $F_{m} = m \cdot g \cdot sin α$ összetevője és az $F_{m}$ erővel ellentétes irányú nagyságú kötélerő hat.

Newton II. törvénye alapján

\begin{matrix} m g \cdot sin α - F = m \cdot a, \end{matrix}

(1)

ahol

a

a kocsi gyorsulása.
A másik kocsira a mozgás irányában csak az

F

kötélerő hat. Mivel a kötél nyújthatatlan, a két kocsi gyorsulása azonos, így

\begin{matrix} F = m \cdot a . \end{matrix}

(2)

(2)-t behelyettesítve (1)-be kapjuk:

\begin{matrix} m g \cdot sin α - m a = m a, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a = \frac{g \cdot sin α}{2} . \end{matrix}

Ezzel a gyorsulással tesz meg a két kocsi

s

utat. Az ehhez szükséges

t

időt egyenletesen változó mozgás útképletéből számítjuk ki:

\begin{matrix} s = (a / 2) \cdot t^{2}, t = \sqrt[]{2 s / a}, \end{matrix}

ebbe behelyettesítve

a

értékét

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{4 s}{g sin α}} . \end{matrix}

Numerikus adatainkkal

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{4 \cdot 2 m}{9, 81 {m/s}^{2} (1 / 2)}} = 1, 28 s . \end{matrix}

Vermes András (Eger, Gárdonyi G. Gimn., II. o. t. )

II. megoldás. Mivel a kötél nyújthatatlan, mindkét kocsi, azonos gyorsulással mozog, így egy rendszernek tekinthetjük őket. Ha a súrlódás elhanyagolható, akkor a kocsikat gyorsító erő a lejtőn levő kocsi súlyának lejtő menti komponense,

F = m \cdot g \cdot sin α

.
A mozgatott tömeg

M = 2 m

, tehát a gyorsulás

\begin{matrix} a = \frac{F}{M} = \frac{m \cdot g \cdot sin α}{2 m} = \frac{g \cdot sin α}{2} . \end{matrix}

A megoldás további részét l. az I. megoldásban.

Horváth László (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., II. o. t. )

III. megoldás. A vízszintesen mozgó kocsi helyzeti energiája nem változik, ugyanakkor mozgási energiája

(1 / 2) m v^{2}

-tel nő.
A lejtőn levő kocsi helyzeti energiája

m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot s \cdot sin α

-val csökken mozgási energiája pedig

(1 / 2) m v^{2}

-tel növekedett. A két kocsi mozgási energiája lejtőn mozgó kocsi helyzeti energiájának csökkenése árán szerezte, tehát

\begin{matrix} 2 \cdot m v^{2} / 2 = m \cdot g \cdot s \cdot sin α, v^{2} = g \cdot s \cdot sin α, v = \sqrt[]{g \cdot s \cdot sin α} . \end{matrix}

Az időt az

s = (a / 2) \cdot t^{2} = \frac{(v / t)}{2} \cdot t^{2} = \frac{v \cdot t}{2}

képletből kapjuk meg:

\begin{matrix} t = \frac{2 s}{v} = \frac{2 s}{\sqrt[]{g \cdot s \cdot sin α}} = \sqrt[]{\frac{4 s}{g \cdot sin α}} . \end{matrix}

Szili László (Pápa, Türr I. Gimn., II. o. t. )