|
Feladat: |
890. fizika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Gyimesi Ferenc , Hordósy Gábor , Horváthy Péter , Láz József , Pál Jenő , Sailer Kornél , Terlaky Edit , Tóth József |
Füzet: |
1970/december,
226 - 228. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Felületi feszültségből származó energia, Gömbkondenzátor, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1970/január: 890. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladatot a virtuális munka elvével fogjuk megoldani. A gömb külső és belső felületén összesen felületi energia tárolódik, ha a gömb sugara . Az elektromos energiát kiszámíthatjuk, ha megnézzük, hogy az sugarú gömb feltöltése közben mennyi munkát végzünk. Legyen a feltöltés végén a gömb töltése , és egy lépésben töltést juttassunk felületére. Mint tudjuk, a gömb felületén a potenciál (-hez képest): , tehát az -edik töltés felvitelekor munkát végzünk, és . Behelyettesítve . Az összes munkavégzés, azaz egy sugarú töltésű gömb elektromos energiája: | |
Mivel
A feladatban vizsgált esetben állandó és nagysága a kezdeti feltételekből: A buborék teljes energiája: | |
A virtuális munka elve szerint olyan értékénél van egyensúly, amelyet -rel megváltoztatva a végzett munka , pontosabban a végzett munka -hez képest kicsiny, amin azt értjük, hogy a végzett munka osztva -rel tart -hoz, ha : Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy a függvény szerinti differenciál-hányadosa a szóbanforgó értéknél . szerint differenciálva -t tehát a következő feltételt kapjuk:
Terlaky Edit (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., IV. o. t. ) | Megjegyzések. 1. Megfigyelhetjük, hogy az egyensúly beálltával a buborék összes energiája kisebb lesz, mint kezdetben (a virtuális munka elvével éppen a potenciális energia minimumát kerestük meg). Kérdés, hogy hová lett az elveszett energia? Ez részben a levegő mozgatásához (kifújásához, illetve beszívásához) használódik el, részben a belső súrlódás miatt hővé alakul. Ha ezek a veszteségek kicsik, a buborék sokáig rezeg az egyensúlyi helyzet közelében. Az ilyen állapotban levő buborékkal bizonyos szempontból modellezhető a nagyobb atommagok viselkedése. Akik ‐ figyelmen kívül hagyva a mozgási energiákat ‐ az energiamegmaradás törvényét írták fel, a kapott másodfokú egyenletből tulajdonképpen a legegyszerűbb rezgési állapot két szélső helyzetét számították ki és ezzel a feltett kérdésre helytelen választ adtak. 2. Sokan próbálták a feladatot közvetlenül a felületet összehúzó erők és az elektromos taszító erők egyensúlyával megoldani. Ez legtöbbször azért nem sikerült, mert ‐ felhasználva azt a tapasztalatot, hogy a töltött gömb külső töltésre úgy hat, mintha egész töltése középpontjában lenne ‐ feltételezték, hogy a gömb felületén levő töltésre erő hat. A gondolatmenet helytelensége könnyen belátható, ha észrevesszük, hogy ugyanilyen joggal állíthatjuk, hogy a ható erő . (Ugyanis a gömb belsejében a térerősség .) A virtuális elmozdulások segítségével vagy a többi töltés hatásának összegzésével (integrálással) bizonyítható, hogy a felületen töltésre erő hat, tehát egy feltöltött vezető gömb elektromos térerősségének távolságfüggése legjobban az ábrán szemléltethető.
E függvény furcsa szerkezetének magyarázata: az elektromosan töltött vezető gömb vizsgálatánál feltételeztük, hogy az egész töltés a gömb felületén cm vastagságú rétegben helyezkedik el. |
|