Feladat: 890. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gyimesi Ferenc ,  Hordósy Gábor ,  Horváthy Péter ,  Láz József ,  Pál Jenő ,  Sailer Kornél ,  Terlaky Edit ,  Tóth József 
Füzet: 1970/december, 226 - 228. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felületi feszültségből származó energia, Gömbkondenzátor, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/január: 890. fizika feladat

α felületi feszültségű szappanoldatból r0 sugarú buborékot fújunk, majd a buborékot szigetelő anyagból készült csövön hagyva U potenciálra feltöltjük (pl. fésűvel). Mekkora lesz a buborék sugara, ha hagyjuk, hogy a csövön a levegő szabadon áramolhasson? (Adatok: α=410-2 N/m, r0=210-2 m, U=6,7103 V.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot a virtuális munka elvével fogjuk megoldani. A gömb külső és belső felületén összesen W1=24r2πα felületi energia tárolódik, ha a gömb sugara r. Az elektromos energiát kiszámíthatjuk, ha megnézzük, hogy az r sugarú gömb feltöltése közben mennyi munkát végzünk.
Legyen a feltöltés végén a gömb töltése Q0, és egy lépésben ΔQ=Q0n töltést juttassunk felületére. Mint tudjuk, a gömb felületén a potenciál (R=-hez képest):
U=kQr, tehát az i-edik ΔQ töltés felvitelekor ΔWi=kQrΔQ munkát végzünk, és Qi=inQ0. Behelyettesítve ΔWi=kQ02rin2.
Az összes munkavégzés, azaz egy r sugarú Q0 töltésű gömb elektromos energiája:

We=i=1nΔWi=kQ02ri=1nin2  határértéke, ha  n.

Mivel
i=1nin2=1n2i=1ni=1n2n(n+1)2=12(1+1n)12,han,azértWe=12kQ02r.



A Q0 feladatban vizsgált esetben állandó és nagysága a kezdeti feltételekből:
Q0=Ur0k.

A buborék teljes energiája:
W=Wf+We=8παr2+12kQ02r=8παr2+12U2r02kr.

A virtuális munka elve szerint r olyan értékénél van egyensúly, amelyet Δr-rel megváltoztatva a végzett munka 0, pontosabban a végzett munka Δr-hez képest kicsiny, amin azt értjük, hogy a végzett munka osztva Δr-rel tart 0-hoz, ha Δr0:
limΔr0ΔWΔr=0.
Ez pedig pontosan azt jelenti, hogy a W függvény r szerinti differenciál-hányadosa a szóbanforgó r értéknél 0. r szerint differenciálva W-t tehát a következő feltételt kapjuk:
16πrα-U2r022k1r2=0.Megoldva  r-re:r=U2r0232kπα3,adatainkkal  r=0,71cm.

 

Terlaky Edit (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., IV. o. t. )
 

Megjegyzések. 1. Megfigyelhetjük, hogy az egyensúly beálltával a buborék összes energiája kisebb lesz, mint kezdetben (a virtuális munka elvével éppen a potenciális energia minimumát kerestük meg). Kérdés, hogy hová lett az elveszett energia? Ez részben a levegő mozgatásához (kifújásához, illetve beszívásához) használódik el, részben a belső súrlódás miatt hővé alakul. Ha ezek a veszteségek kicsik, a buborék sokáig rezeg az egyensúlyi helyzet közelében. Az ilyen állapotban levő buborékkal bizonyos szempontból modellezhető a nagyobb atommagok viselkedése.
Akik ‐ figyelmen kívül hagyva a mozgási energiákat ‐ az energiamegmaradás törvényét írták fel, a kapott másodfokú egyenletből tulajdonképpen a legegyszerűbb rezgési állapot két szélső helyzetét számították ki és ezzel a feltett kérdésre helytelen választ adtak.
2. Sokan próbálták a feladatot közvetlenül a felületet összehúzó erők és az elektromos taszító erők egyensúlyával megoldani. Ez legtöbbször azért nem sikerült, mert ‐ felhasználva azt a tapasztalatot, hogy a töltött gömb külső töltésre úgy hat, mintha egész töltése középpontjában lenne ‐ feltételezték, hogy a gömb felületén levő ΔQ töltésre F=kQΔQr2 erő hat. A gondolatmenet helytelensége könnyen belátható, ha észrevesszük, hogy ugyanilyen joggal állíthatjuk, hogy a ható erő 0. (Ugyanis a gömb belsejében a térerősség 0.)
A virtuális elmozdulások segítségével vagy a többi töltés hatásának összegzésével (integrálással) bizonyítható, hogy a felületen ΔQ töltésre F=12kQΔQr2 erő hat, tehát egy feltöltött vezető gömb elektromos térerősségének távolságfüggése legjobban az ábrán szemléltethető.
 

 

E függvény furcsa szerkezetének magyarázata: az elektromosan töltött vezető gömb vizsgálatánál feltételeztük, hogy az egész töltés a gömb felületén 0 cm vastagságú rétegben helyezkedik el.