Kezdőlap


Feladat:	840. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálványos Zoltán
Füzet:	1970/február, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Mesterséges holdak, Űrszondák, A Hold jellemző adatai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/április: 840. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A műhold keringési idejét csak akkor tudjuk kiszámítani, ha ismerjük a Hold tömegét. Feladatunk tehát ennek meghatározása.

A Föld és a Hold (tömegüket jelöljük

m_{1}

és

m_{2}

-vel) a közös

S

súlypont körül keringenek (l. az ábrát). Ha a keringési idő

T

, akkor a szögsebesség

2 π / T

, és így a Hold centripetális gyorsulása

a = r_{2} {(\frac{2 π}{T})}^{2}

. Ezt a gyorsulást a a Föld gravitációs vonzóereje,

F = f \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}

hozza létre, ahol

r

a Föld és a Hold súlypontjának távolságát jelöli. A mozgásegyenlet tehát:

\begin{matrix} f \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} = m_{2} r_{2} {(\frac{2 π}{T})}^{2} . \end{matrix}

(1)

r_{2}

és

r

azonban nem függetlenek, hanem a súlyponttétel szerint

m_{1} r_{1} = m_{2} r_{2}

, amelyből

r = r_{1} + r_{2}

felhasználásával

\begin{matrix} r_{2} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} r . \end{matrix}

Helyettesítsük ezt (1)-be és fejezzük ki

m_{2}

-t:

\begin{matrix} m_{2} = \frac{4 π^{2} r^{3}}{f T^{2}} - m_{1} . \end{matrix}

(2)

Behelyettesítve a számadatokat

\begin{matrix} m_{2} = \frac{4 π^{2} \cdot {3, 844}^{3} \cdot 10^{24} m^{3}}{6, 67 \cdot 10^{- 11} m^{3} / {kgs}^{2} \cdot {(27, 32 \cdot 86 400 s)}^{2}} - 5, 977 \cdot 10^{24} kg = 6 \cdot 10^{22} kg . \end{matrix}

Látható, hogy

m_{2}

két nagy szám különbségeként adódik, ezért a kiindulási adatok kis pontatlansága nagy hibát okoz. Így

m_{2}

-t nem érdemes egy jegynél pontosabban kiszámítani.
A Hold tömegének ismeretében már könnyen kiszámíthatjuk a műhold keringési idejét. Alkalmazzuk ismét (2)-t, de jelentse most

m_{1}

a műhold tömegét,

r

a Hold súlypontjától mért távolságát és

T

a műhold keringési idejét. Nyilván

m_{1}

elhanyagolható

m_{2}

mellett és így

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{r^{3}}{f m_{2}}} . \end{matrix}

Mivel

r = 1738 km + 500 km = 2238 km

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{{2, 238}^{3} \cdot 10^{18}}{6, 67 \cdot 10^{- 11} \cdot 6 \cdot 10^{22}}} s = 1, 051 \cdot 10^{7} s = 175 perc . \end{matrix}

Bálványos Zoltán (Makó, József A. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Ha figyelembe vesszük, hogy a Nap is zavarja a Hold mozgását, a Hold tömegére

7, 35 \cdot 10^{22} kg

értéket kapunk. Ezzel számolva, a műhold keringési ideje

158 perc