Feladat: 840. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bálványos Zoltán 
Füzet: 1970/február, 91 - 92. oldal  PDF file
Témakör(ök): Newton-féle gravitációs erő, Mesterséges holdak, Űrszondák, A Hold jellemző adatai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/április: 840. fizika feladat

A Hold sugara 1738 km, távolsága a Földtől 384400 km, az állócsillagokra vonatkoztatott keringési ideje 27,32 nap, a Föld tömege 5,9771024 kg. Mekkora lenne közelítőleg a Hold körül 500 km magasságban keringő műhold keringési ideje? (Körpályákkal számolunk, és a kérdést csak kéttest-problémaként kezeljük.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A műhold keringési idejét csak akkor tudjuk kiszámítani, ha ismerjük a Hold tömegét. Feladatunk tehát ennek meghatározása.

 

 

A Föld és a Hold (tömegüket jelöljük m1 és m2-vel) a közös S súlypont körül keringenek (l. az ábrát). Ha a keringési idő T, akkor a szögsebesség 2π/T, és így a Hold centripetális gyorsulása a=r2(2πT)2. Ezt a gyorsulást a a Föld gravitációs vonzóereje, F=fm1m2r2 hozza létre, ahol r a Föld és a Hold súlypontjának távolságát jelöli. A mozgásegyenlet tehát:
fm1m2r2=m2r2(2πT)2.(1)
r2 és r azonban nem függetlenek, hanem a súlyponttétel szerint m1r1=m2r2, amelyből  r=r1+r2 felhasználásával
r2=m1m1+m2r.
Helyettesítsük ezt (1)-be és fejezzük ki m2-t:
m2=4π2r3fT2-m1.(2)
Behelyettesítve a számadatokat
m2=4π23,84431024m36,6710-11m3/kgs2(27,3286400s)2-5,9771024kg=61022kg.

Látható, hogy m2 két nagy szám különbségeként adódik, ezért a kiindulási adatok kis pontatlansága nagy hibát okoz. Így m2-t nem érdemes egy jegynél pontosabban kiszámítani.
A Hold tömegének ismeretében már könnyen kiszámíthatjuk a műhold keringési idejét. Alkalmazzuk ismét (2)-t, de jelentse most m1 a műhold tömegét, r a Hold súlypontjától mért távolságát és T a műhold keringési idejét. Nyilván m1 elhanyagolható m2 mellett és így
T=2πr3fm2.
Mivel r=1738km+500km=2238km,
T=2π2,238310186,6710-1161022s=1,051107s=175perc.

Bálványos Zoltán (Makó, József A. Gimn., IV. o. t.)

 

Megjegyzés. Ha figyelembe vesszük, hogy a Nap is zavarja a Hold mozgását, a Hold tömegére 7,351022kg értéket kapunk. Ezzel számolva, a műhold keringési ideje 158perc.