Feladat: 814. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Garzó Gábor 
Füzet: 1969/november, 179 - 180. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Egyenletesen változó körmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/január: 814. fizika feladat

Adva van egy vízszintesen elhelyezett és a középpontján átmenő függőleges tengely körül súrlódás nélkül forgatható, 4 m sugarú, 24 kg tömegű korong. A korong kerületén játékvasút sín megy körbe. A mozdony 6 kp súlyú, és a külső vezérléstől függően előre, vagy hátra mozoghat. A gördülő ellenállás elhanyagolhatóan kicsi. Motorjának vonóereje minden körülmények között (még akkor is, ha a pillanatnyi sebességgel ellenkező irányban akar haladni) 612 pond. Kezdetben a korong és a mozdony áll, majd bekapcsoljuk a motort. 8 másodpercig előre megy a mozdony, ekkor hirtelen megváltoztatjuk a motor forgásirányát (hátramenetre kapcsolunk át), újabb 8 másodperc múlva a mozdonyt kikapcsoljuk. Hol van ekkor a mozdony a földhöz képest? Írjuk le részletesen a mozgást!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mozdony vonóereje F=612p=0,612  kp =6  newton. A mozdony tömege 6kg (mert súlya 6kp). A vonóerő a mozdonyt a földhöz képest a=F/m=6/6m/s2  =1  m/s2 állandó gyorsulással gyorsítja a kör érintője mentén. A centripetális erő nem játszik szerepet. t másodperc alatt a körpályán a földhöz képest megtett út s=at2/2=0,5t2. Ha a mozdony útját a középponti szöggel akarjuk kifejezni, akkor r=4m rádiusszal osztani kell és a mozdony szögelfordulása α=0,125t2  radián=7,16t2  fok.
Az akció ‐ reakció törvénye szerint a korong kerületi pontjára ugyanakkora, ellentétes irányú erő hat (1. ábra).

 

 

1. ábra
 

Ennek forgatónyomatéka Fr=64=24  newton  méter. A korong tehetetlenségi nyomatéka Θ=0,5mr2=0,52442=192  kg m2. Az állandó forgatónyomaték β=Fr/Θ=24/192=0,125s-2 állandó szöggyorsulást okoz. A korong kerületi pontjának lineáris gyorsulása rβ=0,5m/s2. t másodperc alatt a korong kerületi pontja a földhöz képest 0,5t2/2=0,25t2 utat tesz meg és az ehhez tartozó szögelfordulás radiánban 0,0625t2, fokban 3,58t2.
8 másodpercig végez a mozdony a kör mentén egyenletesen gyorsuló mozgást (pozitív irányban) és a korong egyenletesen gyorsuló forgást (negatív irányban). A 2. ábra a megtett utakat, illetve szögelfordulásokat mutatja mint az idő függvényét.
 

 

2. ábra
 

A 8 másodperc elteltével a mozdony és a korong kerületi pontjának adatait A, illetve A' pont tünteti fel.
A 8 másodperc elteltével a mozdony megtett útja 32 méter, szögelfordulása 8  radián=458, és ekkor kerületi sebessége v=at=8  m/s. Ugyanekkor a korong kerületi pontja által megtett út 16 méter, szögelfordulása 4  radián=229 és kerületi sebessége 4m/s.
Ekkor következik be a mozdony hátrakapcsolása. Az erők és gyorsulások irányt váltanak. De ekkor már nem nulla a sebesség. A mozdony egyenletesen lassuló mozgást végez 8m/s kezdősebességgel és útja az A ponttól számítva:
8t-0,5t2.
A korong kerületi pontja is egyenletesen lassuló mozgást végez 4  m/s kezdősebességről, és A' ponttól megtett útja:
4t-0,25t2.

A hátrakapcsolástól számítva 8 másodperc múlva a mozdony útja 32 méter, teljes útja 32+32=64 méter és teljes szögelfordulása 916. Ugyanekkor a mozdony sebessége a földhöz képest 8ms-1-1ms-2t=0.
A hátrakapcsolástól számítva a korong kerületi pontjának útja 16 méter és teljes útja 16+16=32 méter, szögelfordulása a földhöz képest 458. A korong kerületi pontjának a sebessége most 4ms-1-0,5ms-2t=0. A korong is megállt.
A 16 másodperc elteltével a mozdony is, a korong is állnak a földhöz képest, de nem eredeti helyükön. Az 1. ábra mutatja a helyzeteket. A mozdony az 1. jelzésű helyről indult; a korong I-hez tartozó rádiuszán van ez a pont. Az első 8 másodperc alatt a mozdony kb. 1 és 1/4 fordulattal 2-be, a korong megjelölt rádiusza több mint félfordulattal II-be került. A második 8 másodperc alatt ugyanezek az elfordulások (most lassulva) még egyszer végbemennek, a mozdony 3-ba, a korong megjelölt rádiusza III-ba jut és itt megállnak. Tehát a mozdony és a kiindulási helyzetet megjelölő rádiusz 66-os szöget zárnak be. A feladatban szereplő körülmények között a mozdony mozgása független a korong adataitól.
 

Garzó Gábor (Budapest, I. István Gimn., III. o. t.)