Feladat: 768. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Fischer Ágnes ,  Gerhardt Tamás ,  Gyimesi Ferenc ,  Hordósy Gábor ,  Láz József ,  Sailer Kornél ,  Szamosújvári Sándor 
Füzet: 1969/január, 44 - 45. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/május: 768. fizika feladat

Felfüggesztett állócsigán átvetett kötél végein két, egyenként m tömegű mozgócsiga függ. A bal oldali csigára az ábrán látható módon 2m és 3m nagyságú tömegeket akasztunk. A jobb oldali csigán m és x nagyságú tömegek vannak. Mekkora legyen x, ha azt akarjuk, hogy
a) a csigákat tartó kötél mozdulatlan maradjon?
b) a két csiga 1m/s2 gyorsulással mozogjon?
c) Ha változtatjuk a megadott tömegek nagyságát, található-e mindig olyan x tömeg, amelynek hatására a mozgócsigák között egyensúly áll be?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg a feladatot általánosan! Jelöljük a tömegeket az ábra szerint m1, m2, m3, m és x-szel, a csigák gyorsulását a-val!

 

 

1. ábra
 

Határozzuk meg a kötélerőket! Ha a mozgó csigához képest az m1 és x tömegű testek A gyorsulással mozognak, akkor a három testre a következő mozgásegyenletek írhatók fel:
m1g-K1=m1(a+A),(1)xg-K1=x(a-A),(2)mg+2K1-K2=ma.(3)


(1) és (2)-t x-szel, illetve m1-gyel szorozva és összeadva kapjuk, hogy
2m1xg-xK1-m1K1=2m1xa,ahonnanK1=2m1xm1+x(g-a).(4)


Ezt (3)-ba behelyettesítve és K2-t kifejezve:
K2=4m1xm1+x(g-a)+m(g-a).(5)

Teljesen hasonlóan határozhatjuk meg a másik mozgócsigánál fellépő kötélerőt, csak ott a ellentétes irányú:
K'2=4m2m3m2+m3(g+a)+m(g+a).
Ugyanazon kötél két végén a kötélerő megegyezik, tehát K2=K'2.
 

 

2. ábra
 

Részletesen kiírva
4m1xm1+x(g-a)+m(g-a)=4m2m3m2+m3(g+a)+m(g+a).(6)
Az egyenletet x-re megoldva a következő kifejezést kapjuk:
x=2m1m2m3g+(2m1m2m3+mm1m2+mm1m3)a2(m1m2+m1m3-m2m3)g-(2m2m3+mm2+mm3+2m1m2+2m1m3)a.(7)
Ezek után mindhárom kérdésre válaszolhatunk.
a) Ha a csigák nem mozognak (a=0), akkor
x=m1m2m3m1m2+m1m3-m2m3.(8)
Behelyettesítve az m1=m, m2=2m és m3=3m értékeket, x=-6m eredményt kapjunk. Ez fizikailag nem reális, mivel tömeg csak pozitív lehet.
c) x-re akkor kapunk pozitív értéket, ha (8)-ban a nevező pozitív, vagyis ha m1m2+m1m3-m2m3>0. Átrendezéssel 1m1<1m2+1m3. Ez a feltétel a) esetben nem teljesült.
b) Ha (7)-be beírjuk a megfelelő tömegértékeket, akkor
x=-12g-17a2g+27amértéket kapunk.(9)
Ezzel a=1  m/s2 mellett negatív. A feladat szövegében nem szerepel a gyorsulás iránya, így a lehet -1  m/s2 is. Ekkor x=13,6m.
 

 Hordósy Gábor (Győr, Czuczor G. Gimn., III. o. t.) és   Láz József (Bp., Eötvös J. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
 

Megjegyzés. A megoldásnál nem vettük figyelembe a csigák forgását.
 

 Gyimesi Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.)