Kezdőlap


Feladat:	765. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Alajos , Horváth Péter , Jung József
Füzet:	1969/január, 40 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgás párhuzamos elektromos és mágneses mezőben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/április: 765. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen (1. ábra) $e$ részecske tömege $m$ és töltése $Q$ , negatív. Az erőhatások függetlenségének elve alapján a vízszintes és függőleges irányú elmozdulás külön vizsgálható.

1. ábra

Y

tengely irányában csak az elektromos térerősségnek van eltérítő hatása, a részecskékre ható erő

\begin{matrix} P_{y} = E \cdot Q, \end{matrix}

és a gyorsulás

a_{y} = E \cdot Q / m

t

ideig tart az út az ernyőig, a függőleges elmozdulás

\begin{matrix} y = \frac{1}{2} \frac{E \cdot Q}{m} \cdot t^{2} = \frac{1}{2} \frac{E \cdot Q}{m} {(\frac{s}{v})}^{2} = \frac{E \cdot Q s^{2}}{2 m v^{2}} . \end{matrix}

(1)

A mágneses indukció által a részecskére ható erő nagysága

\begin{matrix} P_{x} = Q \cdot (v_{t} \cdot B) \end{matrix}

(ahol

v_{t}

B

-re merőleges sebességkomponenst jelenti),

P_{x}

, merőleges mindkettőre (vektoriális szorzat).

P_{x}

a részecskét körpályára kényszeríti

P ⊥ v

, a körpálya sugarára

\begin{matrix} m \frac{v^{2}}{r} = Q \cdot v \cdot B, ebből r = \frac{m \cdot v}{B \cdot Q} . \end{matrix}

2. ábra

Innen a becsapódás helyére (2. ábra)

\begin{matrix} r^{2} = {(r - x)}^{2} + s^{2}, \\ x = r - \sqrt[]{r^{2} - s^{2}} = r (1 - \sqrt[]{1 - \frac{s^{2}}{r^{2}}}) . \end{matrix}

x ≪ s ≪ r

és alkalmazzuk az ajánlott közelítő formulát

\begin{matrix} x \approx r (1 - 1 + \frac{s^{2}}{2 r^{2}}) = \frac{s^{2}}{2 r^{2}} = \frac{s^{2} B \cdot Q}{2 m v} . \end{matrix}

(2)

1. Ha a részecske mozgási energiája

W = \frac{1}{2} m v^{2}

, akkor

\begin{matrix} y = \frac{E \cdot Q s^{2}}{4 W} . \end{matrix}

Ez az

X

tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete. Az

x

irányú eltérés a szabadon változó

m

vagy

v

értéktől függ.

2. Ha a részecske mozgásmennyisége

I = m v

, akkor

\begin{matrix} x = \frac{B \cdot Q s^{2}}{2 I} . \end{matrix}

Ez az

Y

tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete. Az

Y

irányú eltérés a szabadon változó

m

vagy

v

értéktől függ.

3. Az azonos sebességű részecskék becsapódási helyének egyenletét

m

kiküszöbölésével kapjuk az (1)‐(2) egyenletekből:

\begin{matrix} y = \frac{E}{v \cdot B} x (egyenes) . \end{matrix}

4. Az azonos tömegű részecskék becsapódási helyének egyenletét

v

kiküszöbölésével kapjuk az (1)‐(2) egyenletekből:

\begin{matrix} y = \frac{2 E m}{B^{2} s^{2} Q} x^{2} (parabola) . \end{matrix}

Az 1.‐2. esetben a tengelyektől való távolság fordítottan arányos az energiával, illetve impulzussal. A 3. esetben az

X Y

sík origóján áthaladó egyenes meredeksége fordítva arányos a sebességgel. A 4. esetben a parabola nagyobb tömegek esetén csúcsosabb.

Jung József (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Az

x ≪ s ≪ r

feltételezés azt is jelenti, hogy

P_{x}

alig változtatja irányát, azaz a mozgás során

P_{x}

valóban az

x

tengely irányába néz. A körpályának ezt a darabját parabolával közelítjük. Így

X

irányban is olyan mozgás történik, mint

Y

irányban

\begin{matrix} x = \frac{a}{2} t^{2} = \frac{P_{x}}{2 m} t^{2} = \frac{Q \cdot v \cdot B}{2 m} {(\frac{s}{v})}^{2} = \frac{Q B s^{2}}{2 m v} . \end{matrix}

Horváth Péter

2. Ha

Y

irányban a gravitációs erőt is figyelembe vesszük, akkor

y = \frac{(E Q + m g) s^{2}}{2 m v^{2}}

és az állandó energiájú részecskék becsapódásának egyenlete

\begin{matrix} y = \frac{B^{2} Q^{2} s^{4} g}{32 W} \frac{1}{x^{2}} - \frac{E Q s^{2}}{4 W} . \end{matrix}

Bérczi Alajos (Szeged, Radnóti M. Gimn.. IV. o. t.)