Feladat:	763. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bajmóczy Ervin ,  Bálványos Zoltán ,  Csernai László ,  Diósi Lajos ,  Szörényi András ,  Takács László
Füzet:	1969/január, 38 - 39. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Torziós inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/április: 763. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. ábra   Az 1. ábra jelöléseit használva írjuk fel Newton II. törvényét a forgómozgásra: $\begin{array}{c}{\displaystyle I\beta =mg\left(l/2\right)\text{sin}\left(\phi +{\phi }_1\right)-D\left(\phi +{\phi }_1-{\phi }_0\right)\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol $I=m{l}^2/3$ a homogén rúd tehetetlenségi nyomatéka; $\beta$ a szöggyorsulás; ${\phi }_0$ a megfeszítetlen rugó helyzete; ${\phi }_1$ az inga egyensúlyi helyzete; $\phi$ az inga egyensúlyi helyzetétől mért kitérés. Mivel ${\phi }_1$ egyensúlyi helyzet, $\phi =0$-nál $\beta \ne 0$, így az (1) egyenletből $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2D}{mgl}\left({\phi }_1-{\phi }_0\right)=\text{sin}{\phi }_1\mathrm{.}}\end{array}$ (2) A (2) egyenlet grafikus ábrázolásából láthatjuk (2. ábra), hogy az egyenletnek tetszőlegesen sok gyöke lehet, ha a $K=2D/mgl$ érték elég kicsi.     2. ábra   Ez fizikailag azt jelenti, hogy ha a rugó elég gyenge, akkor sokszori körbefordítás után is találunk olyan helyzetet, ahol a rúd súlyának forgatónyomatéka egyensúlyt tud tartani a rugó forgatónyomatékával. A fent meghatározott egyensúlyi helyzetek körül rezgőmozgás akkor jön létre, ha az abból való kitérítéskor visszahúzó forgatónyomaték lép fel. Nagy kitérés esetén a rezgőmozgás nem lesz harmonikus, de kis kitérés esetén $\text{sin}\phi \approx \phi$, $\text{cos}\phi \approx 1$. Ezt és a (2) egyenletet felhasználva, az (1) egyenletből az $\begin{array}{c}{\displaystyle I\beta =-\left[D-mg\left(l/2\right)\text{cos}{\phi }_1\right]\phi }\end{array}$ (3) egyenletet kapjuk. Ez egy $\omega =\sqrt[]{\left[D-\left(mgl/2\right)\text{cos}{\phi }_1\right]\frac{1}{I}}$ körfrekvenciájú harmonikus torziós rezgés egyenlete. Mivel ${\omega }^2>0$, a rezgőmozgás feltétele az, hogy $D-\left(mgl/2\right)\text{cos}{\phi }_1>0$ legyen. A lengésidő $T=2\pi \sqrt[]{\frac{I}{D-\left(mgl/2\right)\text{cos}{\phi }_1}}=2\pi \sqrt[]{\frac{2m{l}^2/3}{2D-mgl\text{cos}{\phi }_1}}$. Nagyobb kitérés esetén is rezgőmozgás jön létre (nem fog a rúd a végtelenségig ugyanabba az irányba forogni), de ez nem egy egyensúlyi helyzet körül történik. A 2. és a 3. ábrán látható, hogy a stabilis és nem stabilis egyensúlyi helyzetek egymásután felváltva következnek.     3. ábra   Így egyetlen egyensúlyi helyzet körül akkor jön létre rezgés, ha a kitérítés kisebb a hozzá legközelebb levő labilis egyensúlyi helyzet távolságánál. A 2. ábra a ${\phi }_0=0$ esetet, a 3. pedig a ${\phi }_0\ne 0$ esetben lehetséges helyzeteket mutatja.    Bajmóczy Ervin (Bp., Fazekas M. Gimn., I. o. t.), és  Szörényi András (Pécs, Széchenyi I. Gimn., III. o. t.)