Feladat: 763. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bajmóczy Ervin ,  Bálványos Zoltán ,  Csernai László ,  Diósi Lajos ,  Szörényi András ,  Takács László 
Füzet: 1969/január, 38 - 39. oldal  PDF file
Témakör(ök): Torziós inga, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/április: 763. fizika feladat

Az l hosszúságú, m tömegű homogén rudat egyik végén csapágyazzuk. Ugyanitt az így kialakított ingához D direkciós nyomatékú spirálrugó kapcsolódik. Az inga egyensúlyi helyzete a függőlegesben van.
1. Határozzuk meg a lengésidőt.
2. Jellemezzük a mozgást, amikor az inga egyensúlyi helyzete a függőlegessel φ1 szöget zár be.
 

 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

1. ábra
 

Az 1. ábra jelöléseit használva írjuk fel Newton II. törvényét a forgómozgásra:
Iβ=mg(l/2)sin(φ+φ1)-D(φ+φ1-φ0),(1)
ahol I=ml2/3 a homogén rúd tehetetlenségi nyomatéka; β a szöggyorsulás; φ0 a megfeszítetlen rugó helyzete; φ1 az inga egyensúlyi helyzete; φ az inga egyensúlyi helyzetétől mért kitérés.
Mivel φ1 egyensúlyi helyzet, φ=0-nál β0, így az (1) egyenletből
2Dmgl(φ1-φ0)=sinφ1.(2)
A (2) egyenlet grafikus ábrázolásából láthatjuk (2. ábra), hogy az egyenletnek tetszőlegesen sok gyöke lehet, ha a K=2D/mgl érték elég kicsi.
 

 

2. ábra
 

Ez fizikailag azt jelenti, hogy ha a rugó elég gyenge, akkor sokszori körbefordítás után is találunk olyan helyzetet, ahol a rúd súlyának forgatónyomatéka egyensúlyt tud tartani a rugó forgatónyomatékával.
A fent meghatározott egyensúlyi helyzetek körül rezgőmozgás akkor jön létre, ha az abból való kitérítéskor visszahúzó forgatónyomaték lép fel. Nagy kitérés esetén a rezgőmozgás nem lesz harmonikus, de kis kitérés esetén sinφφ, cosφ1. Ezt és a (2) egyenletet felhasználva, az (1) egyenletből az
Iβ=-[D-mg(l/2)cosφ1]φ(3)
egyenletet kapjuk. Ez egy ω=[D-(mgl/2)cosφ1]1I körfrekvenciájú harmonikus torziós rezgés egyenlete. Mivel ω2>0, a rezgőmozgás feltétele az, hogy D-(mgl/2)cosφ1>0 legyen.
A lengésidő T=2πID-(mgl/2)cosφ1=2π2ml2/32D-mglcosφ1.

Nagyobb kitérés esetén is rezgőmozgás jön létre (nem fog a rúd a végtelenségig ugyanabba az irányba forogni), de ez nem egy egyensúlyi helyzet körül történik. A 2. és a 3. ábrán látható, hogy a stabilis és nem stabilis egyensúlyi helyzetek egymásután felváltva következnek.
 

 

3. ábra
 

Így egyetlen egyensúlyi helyzet körül akkor jön létre rezgés, ha a kitérítés kisebb a hozzá legközelebb levő labilis egyensúlyi helyzet távolságánál. A 2. ábra a φ0=0 esetet, a 3. pedig a φ00 esetben lehetséges helyzeteket mutatja.
 

 Bajmóczy Ervin (Bp., Fazekas M. Gimn., I. o. t.), és
 Szörényi András (Pécs, Széchenyi I. Gimn., III. o. t.)