Kezdőlap


Feladat:	726. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Grósz Tamás , Szolgay Péter , Takács László , Woynarovich Ferenc
Füzet:	1968/május, 232 - 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rögzített tengely körüli forgás (Merev testek mozgásegyenletei), Harmonikus rezgőmozgás, Fizikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/november: 726. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rúd a vízszintessel zárjon be $φ$ szöget, szöggyorsulása legyen $β$ . Írjuk fel Newton II. törvényét a tömegközéppont gyorsulására (a csapban ébredő erőt $P$ -vel jelöljük, a tömegközéppont gyorsulása $a = \frac{l}{2} β)$ :

\begin{matrix} m \frac{l}{2} β = - m g + P - k l φ . \end{matrix}

(1)

A másik egyenlet a forgómozgás egyenlete a csapra mint tengelyre vonatkoztatva:

\begin{matrix} I β = - (m g) l / 2 - (k l φ) l = - m g l / 2 - k l^{2} φ . \end{matrix}

(2)

Ez egy rezgőmozgás egyenlete, csak a nyugalmi helyzet nem

φ = 0

-nál van, hanem egy

φ_{0}

-nál, amit a

β = 0

feltétel határoz meg.

\begin{matrix} 0 = - m g l / 2 - k l^{2} φ_{0}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} φ_{0} = - m g / 2 k l . \end{matrix}

Legyen

φ

-nek a nyugalmi helyzettől való eltérése

φ_{1}

, vagyis

\begin{matrix} φ = φ_{0} + φ_{1} = - m g / 2 k l + φ_{1} . \end{matrix}

Ezt behelyettesítve a (2) egyenletbe

\begin{matrix} I β = - k l^{2} φ_{1}, β = - \frac{k l^{2}}{I} φ_{1} . \end{matrix}

Ez egy olyan rezgőmozgás egyenlete, melynél

ω^{2} = k l^{2} / I

ω = \sqrt[]{k l^{2} / I}

, és így a megoldás, azaz a kitérés időfüggése

φ_{1} = A sin ω t

.
Hátra van még a csapban ébredő erő meghatározása. Az (1) egyenletből kifejezzük

P

-t, melybe

β

értékét a (2) egyenletből vesszük.

\begin{matrix} P = m g + k l φ + m \frac{l}{2} (- \frac{m g l}{2 I} - \frac{k l^{2} φ}{I}); \\ P = m g (1 - \frac{m l^{2}}{4 I}) + k l (1 - \frac{m l^{2}}{2 I}) φ . \end{matrix}

Mivel

φ = - \frac{m g}{2 k l} + φ_{1}

\begin{matrix} P & = m g (1 - \frac{m l^{2}}{4 I}) - \frac{m g}{2} (1 - \frac{m l^{2}}{2 I}) - k l (1 - \frac{m l^{2}}{2 I}) φ_{1}; \\ P & = \frac{m g}{2} + k l (1 - \frac{m l^{2}}{2 I}) φ_{1} . \end{matrix}

A rúd tehetetlenségi nyomatéka a rúd végpontjára vonatkoztatva

m l^{2} / 3

, tehát

\begin{matrix} P = \frac{m g}{2} - \frac{1}{2} k l φ_{1} . \end{matrix}

φ_{1}

időfüggése

φ_{1} = A sin ω t

, amiből a csapban ébredő erő

\begin{matrix} P = \frac{m g}{2} - \frac{1}{2} k l A sin ω t, ahol ω = \sqrt[]{\frac{k l^{2}}{I}} = \sqrt[]{\frac{3 k}{m}} . \end{matrix}

Megjegyzés. Egy dinamikai feladatnál az erőket a dinamika egyenleteiből, Newton II. törvényéből és a forgómozgás alapegyenletéből lehet csak meghatározni. Sok tanuló a sztatika törvényeit alkalmazta megoldásában. Ez az eljárás ennél a példánál nem vezethet helyes eredményhez.