Feladat: 726. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Grósz Tamás ,  Szolgay Péter ,  Takács László ,  Woynarovich Ferenc 
Füzet: 1968/május, 232 - 234. oldal  PDF file
Témakör(ök): Rögzített tengely körüli forgás (Merev testek mozgásegyenletei), Harmonikus rezgőmozgás, Fizikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/november: 726. fizika feladat

Az l hosszúságú, m tömegű homogén rúd egyik vége vízszintes helyzetben a C csaphoz, másik vége a k direkciós erejű függőleges rugóhoz csatlakozik. A rendszert a függőleges síkban kis amplitúdójú rezgésbe hozzuk. Határozzuk meg:
a) a rúd rezgésidejét,
b) a csapban ébredő erő időtől való függését.
(Lásd a szeptemberi számban közölt cikket!)
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rúd a vízszintessel zárjon be φ szöget, szöggyorsulása legyen β. Írjuk fel Newton II. törvényét a tömegközéppont gyorsulására (a csapban ébredő erőt P-vel jelöljük, a tömegközéppont gyorsulása a=l2β):

ml2β=-mg+P-klφ.(1)

 

A másik egyenlet a forgómozgás egyenlete a csapra mint tengelyre vonatkoztatva:
Iβ=-(mg)l/2-(klφ)l=-mgl/2-kl2φ.(2)
Ez egy rezgőmozgás egyenlete, csak a nyugalmi helyzet nem φ=0-nál van, hanem egy φ0-nál, amit a β=0 feltétel határoz meg.
0=-mgl/2-kl2φ0,
ebből
φ0=-mg/2kl.
Legyen φ-nek a nyugalmi helyzettől való eltérése φ1, vagyis
φ=φ0+φ1=-mg/2kl+φ1.
Ezt behelyettesítve a (2) egyenletbe
Iβ=-kl2φ1,β=-kl2Iφ1.
Ez egy olyan rezgőmozgás egyenlete, melynél ω2=kl2/I, ω=kl2/I, és így a megoldás, azaz a kitérés időfüggése φ1=Asinωt.
Hátra van még a csapban ébredő erő meghatározása. Az (1) egyenletből kifejezzük P-t, melybe β értékét a (2) egyenletből vesszük.
P=mg+klφ+ml2(-mgl2I-kl2φI);P=mg(1-ml24I)+kl(1-ml22I)φ.



Mivel φ=-mg2kl+φ1,
P=mg(1-ml24I)-mg2(1-ml22I)-kl(1-ml22I)φ1;P=mg2+kl(1-ml22I)φ1.

A rúd tehetetlenségi nyomatéka a rúd végpontjára vonatkoztatva ml2/3, tehát
P=mg2-12klφ1.

φ1 időfüggése φ1=Asinωt, amiből a csapban ébredő erő
P=mg2-12klAsinωt,aholω=kl2I=3km.

 

Megjegyzés. Egy dinamikai feladatnál az erőket a dinamika egyenleteiből, Newton II. törvényéből és a forgómozgás alapegyenletéből lehet csak meghatározni. Sok tanuló a sztatika törvényeit alkalmazta megoldásában. Ez az eljárás ennél a példánál nem vezethet helyes eredményhez.