Kezdőlap


Feladat:	701. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szalay Sándor
Füzet:	1968/március, 138 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb gördülés (Gördülés), Analógia alkalmazása, Steiner-tétel, Forgási energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/május: 701. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A karika súlypontja egy $R - r$ sugarú körpályán fog mozogni, melynek középpontja az $O$ pont.Határozzuk meg a szöggyorsulást a nyugalmi helyzettől számított $α$ kitérés esetén!
A karika súlypontjában $m g$ nagyságú függőleges súlyerő, a henger és a karika $A$ érintkezési pontjában ismeretlen nagyságú és irányú $P$ erő hat.

Célszerű az

A

pont körüli forgásra felírni a forgómozgás dinamikai alapegyenletét, mert erre a pontra

P

forgatónyomatéka zérus.

\begin{matrix} M = I_{A} \cdot β_{A}, \end{matrix}

(1)

ahol

β_{A}

A

pont körüli forgás szöggyorsulása,

I_{A}

pedig az

A

pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Jelen esetben

\begin{matrix} M = - m g R sin α, \end{matrix}

(2)

valamint Steiner tétele alapján (lásd KML XXIX. évf. 5. sz. és 31. évf. 5. sz.)

\begin{matrix} I_{A} = I_{s} + m R^{2} = 2 m R^{2} . \end{matrix}

Mivel az

A

pont helyzete a mozgás folyamán változik, a

β_{A}

helyett az

O

pontra vonatkozó

β_{0}

szöggyorsulásra kell áttérnünk. A két mennyiség közti kapcsolatot a súlypont kerületi gyorsulása adja.

\begin{matrix} a_{s} = R β_{A} = (R - r) β_{0}, ahonnan \\ β_{A} = \frac{R - r}{R} β_{0} . & (4) \end{matrix}

Behelyettesítve (1)-be (2), (3) és (4) eredményeit, a lehetséges egyszerűsítések után

\begin{matrix} β_{0} = - \frac{g}{2 (R - r)} sin α . \end{matrix}

(5)

Az eredményt összehasonlítva egy

l

hosszúságú fonálinga

\begin{matrix} β = - \frac{g}{l} sin α \end{matrix}

(6)

mozgásegyenletével, azt tapasztaljuk, hogy a karika mozgását egy olyan egyenlet írja le, mint egy

l = 2 (R - r)

hosszúságú fonálinga mozgását meghatározó egyenlet. Innen

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{2 (R - r)}{g}} . \end{matrix}

II. megoldás. Határozzuk meg a helyzeti és mozgási energiát

α

szögelfordulás és az

O

pontra vonatkoztatott

ω_{0}

szögsebesség esetén! A súlypont magasságemelkedése

(R - r) (1 - cos α)

, így a helyzeti energia

\begin{matrix} E_{h} = m g (R - r) (I - cos α) . \end{matrix}

(7)

A mozgási energia kiszámításánál a karika mozgását

A

pont körüli forgásként tekintjük (ahol az

A

pont a mozgás során változik). Az első megoldásban alkalmazott módszer segítségével kiszámíthatjuk az

A

-ra vonatkozó

ω_{A}

szögsebességet. A súlypont kerületi sebességét felírva mindkét pontra

\begin{matrix} v_{s} = R ω_{A} = (R - r) ω_{0}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} ω_{A} = \frac{R - r}{R} ω_{0} . \end{matrix}

(8)

A mozgási energia

\begin{matrix} E_{m} = \frac{1}{2} I_{A} ω_{A}^{2} . \end{matrix}

(9)

Felhasználva, hogy

I_{A} = 2 m R^{2}

, (8)-t (9)-be helyettesítve

\begin{matrix} E_{m} = m {(R - r)}^{2} ω_{0}^{2} . \end{matrix}

(10)

Összehasonlítva a kapott eredményt egy

I

tehetetlenségi nyomatékú,

s

súlyponttávolságú fizikai inga megfelelő

\begin{matrix} E'_{h} & = m g s (1 - cos α), & (7') \\ ill. E'_{m} & = \frac{1}{2} I ω^{2} & (10') \end{matrix}

egyenleteivel, a következő összefüggéseket kapjuk

\begin{matrix} s = R - r, I = 2 m {(R - r)}^{2} . \end{matrix}

Ezek segítségével a lengésidő

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{I}{m g s}} = 2 π \sqrt[]{\frac{2 (R - r)}{g}} . \end{matrix}

Megjegyzés. A megoldásokban felhasználtuk a fonálinga, ill. a fizikai inga lengésidőképletét. Mivel ezek csak kis kitérés esetén helyesek, a fenti eredmények is csak ebben az esetben érvényesek.