Feladat: 701. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Szalay Sándor 
Füzet: 1968/március, 138 - 140. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb gördülés (Gördülés), Analógia alkalmazása, Steiner-tétel, Forgási energia, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/május: 701. fizika feladat

Egy vízszintes tengelyű, r sugarú hengerre felfűzünk egy R sugarú, elhanyagolható szélességű, m tömegű karikát. Mekkora lengésidejű mozgást fog végezni a karika, ha kis szöggel eltérítjük nyugalmi helyzetéből, és utána elengedjük? (A két test közti súrlódás miatt tiszta gördülés történik.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A karika súlypontja egy R-r sugarú körpályán fog mozogni, melynek középpontja az O pont.Határozzuk meg a szöggyorsulást a nyugalmi helyzettől számított α kitérés esetén!
A karika súlypontjában mg nagyságú függőleges súlyerő, a henger és a karika A érintkezési pontjában ismeretlen nagyságú és irányú P erő hat.

 

 

Célszerű az A pont körüli forgásra felírni a forgómozgás dinamikai alapegyenletét, mert erre a pontra P forgatónyomatéka zérus.
M=IAβA,(1)
ahol βA az A pont körüli forgás szöggyorsulása, IA pedig az A pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Jelen esetben
M=-mgRsinα,(2)
valamint Steiner tétele alapján (lásd KML XXIX. évf. 5. sz. és 31. évf. 5. sz.)
IA=Is+mR2=2mR2.
Mivel az A pont helyzete a mozgás folyamán változik, a βA helyett az O pontra vonatkozó β0 szöggyorsulásra kell áttérnünk. A két mennyiség közti kapcsolatot a súlypont kerületi gyorsulása adja.

as=RβA=(R-r)β0,ahonnanβA=R-rRβ0.(4)


Behelyettesítve (1)-be (2), (3) és (4) eredményeit, a lehetséges egyszerűsítések után
β0=-g2(R-r)sinα.(5)
Az eredményt összehasonlítva egy l hosszúságú fonálinga
β=-glsinα(6)
mozgásegyenletével, azt tapasztaljuk, hogy a karika mozgását egy olyan egyenlet írja le, mint egy l=2(R-r) hosszúságú fonálinga mozgását meghatározó egyenlet. Innen
T=2π2(R-r)g.
 

II. megoldás. Határozzuk meg a helyzeti és mozgási energiát α szögelfordulás és az O pontra vonatkoztatott ω0 szögsebesség esetén! A súlypont magasságemelkedése (R-r)(1-cosα), így a helyzeti energia
Eh=mg(R-r)(I-cosα).(7)
A mozgási energia kiszámításánál a karika mozgását A pont körüli forgásként tekintjük (ahol az A pont a mozgás során változik). Az első megoldásban alkalmazott módszer segítségével kiszámíthatjuk az A-ra vonatkozó ωA szögsebességet. A súlypont kerületi sebességét felírva mindkét pontra
vs=RωA=(R-r)ω0,
ahonnan
ωA=R-rRω0.(8)
A mozgási energia
Em=12IAωA2.(9)
Felhasználva, hogy IA=2mR2, (8)-t (9)-be helyettesítve
Em=m(R-r)2ω02.(10)
Összehasonlítva a kapott eredményt egy I tehetetlenségi nyomatékú, s súlyponttávolságú fizikai inga megfelelő
E'h=mgs(1-cosα),(7')ill.ooooooE'm=12Iω2(10')
egyenleteivel, a következő összefüggéseket kapjuk
s=R-r,I=2m(R-r)2.
Ezek segítségével a lengésidő
T=2πImgs=2π2(R-r)g.

Megjegyzés. A megoldásokban felhasználtuk a fonálinga, ill. a fizikai inga lengésidőképletét. Mivel ezek csak kis kitérés esetén helyesek, a fenti eredmények is csak ebben az esetben érvényesek.