Kezdőlap


Feladat:	699. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Grósz Tamás , Nagy Zsigmond , Szörényi András
Füzet:	1968/március, 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kepler II. törvénye, Helyzeti energia inhomogén gravitációs mezőben, Energiamegmaradás tétele, Mesterséges holdak, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/május: 699. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hogy a feladatot meg tudjuk oldani, a problémát vissza kell transzformálni a forgó kordinátarendszerből inerciarendszerbe. Ez azért szükséges, mert az energia és impulzusmomentum (felületi sebesség) tétele csak itt igaz.
A Föld felületén a rakéta sebességének függőleges komponense a keresett $v_{0}$ , vízszintes komponense pedig a Föld forgásából származó $ω R$ ahol $ω = \frac{2 π}{1 nap}$ , a Föld tengely körüli szögsebessége.
A pálya Földtől legtávolabbi pontjában a sebességnek függőleges komponense nincs, vízszintes komponense pedig $ω r - v$ . ( $r$ a pálya legmagasabb pontjának távolsága a Föld középpontjától.)
Ezen adatokkal a felületi sebesség tétele (Kepler II. törvénye):

\begin{matrix} \frac{ω R \cdot R}{2} = \frac{(ω r - v) r}{2} . \end{matrix}

(1)

Ebből

\begin{matrix} r^{2} - \frac{v}{ω} r - R^{2} = 0. \end{matrix}

(2)

Numerikus adatokkal:

\begin{matrix} \frac{v}{ω} = \frac{700 m/s}{2 π / 86 400 l/s} = 9, 6 \cdot 10^{6} m, \end{matrix}

mely

(3 / 2) R

-rel egyenlő.
Ezt visszahelyettesítve a (2)-be

\begin{matrix} r^{2} - (3 / 2) R r - R^{2} = 0, \end{matrix}

mely másodfokú egyenlet gyökei:

r = 2 R

r = - (1 / 2) R

. A

- (1 / 2) R

értelmetlen ezért csak

r = 2 R

a megoldás. A rakéta kétszeres földsugár magasságig emelkedik.
Írjuk fel a két előbb vett pontra az energiatételt:

\begin{matrix} \frac{1}{2} [v_{0}^{2} + {(ω R)}^{2}] - \frac{m R^{2} g}{R} = \frac{1}{2} m {[ω r - v]}^{2} - \frac{m R^{2} g}{r} . \end{matrix}

Az (1) egyenletből

\begin{matrix} \frac{1}{2} m [v_{0}^{2} + {(ω R)}^{2}] - \frac{m R^{2} g}{R} = \frac{1}{2} m \frac{ω^{2} R^{2}}{r^{2}} - \frac{m R^{2} g}{r}, \end{matrix}

rendezve

\begin{matrix} v_{0}^{2} = 2 R g (1 - \frac{R}{r}) - ω^{2} R^{2} (1 - \frac{R^{2}}{r^{2}}) . \end{matrix}

A második tag az elsőhöz képest kicsi, amiről az értékek behelyettesítésével meggyőződhetünk. Ezt elhagyva:

\begin{matrix} v_{0}^{2} = 2 R g (1 - \frac{R}{r}) . \end{matrix}

Mivel

r = 2 R

, ezért

v_{0}^{2} = R g

v_{0} = \sqrt[]{R g} = 7, 9 km/s

, az első kozmikus sebesség.

Nagy Zsigmond (Bp. Kaffka M. g. III. o. t.)