Kezdőlap


Feladat:	696. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dombi László , Jung József , Molnár Gyula , Vozáry Eszter
Füzet:	1967/november, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lencserendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/május: 696. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott $n$ törésmutatójú anyagból készült szélső, konkáv-konvex lencsék mindegyikének erőssége (fókusztávolságának reciproka):

\begin{matrix} (n - 1) (\frac{1}{R} - \frac{1}{r}), \end{matrix}

az ugyanezen anyagból készült középső, bikonkáv lencse erőssége:

\begin{matrix} - (n - 1) \cdot \frac{2}{r} . \end{matrix}

n'

törésmutatójú anyagból készült bikonvex lencsék mindegyikének erőssége:

\begin{matrix} (n' - 1) \cdot \frac{2}{r} . \end{matrix}

\begin{matrix} 1. ábra \end{matrix}

Az a kívánság, hogy a lencserendszer ne nagyítson, nyilvánvalóan úgy értendő, hogy a tárgy semmiféle elhelyezése mellett se nagyítson, vagyis planparalel lemezként viselkedjen, és így eredő fókusztávolsága végtelen, lencseerőssége nulla legyen. Az

5

lencse erősségét összegezzük, és az összeget

0

-val tesszük egyenlővé:

\begin{matrix} 2 (n - 1) (\frac{1}{R} - \frac{1}{r}) - (n - 1) \cdot \frac{2}{r} + 2 (n' - 1) \cdot \frac{2}{r} = 0. \end{matrix}

Ennek az egyenletnek a megoldása

n'

-re nézve:

\begin{matrix} n' = n (1 - \frac{r}{2 R}) + \frac{r}{2 R} = n - \frac{r}{2 R} (n - 1) . \end{matrix}

(1)

Tehát a geometriai méretek, illetőleg az

r / R

hányados a lényeges. 2. ábránk, mint az (1) alatti megoldás grafikus ábrázolása mutatja meg, hogy adott

n

esetében különböző

r / R

értékekhez mekkora

n'

tartozik. Az (1) alatti eredményt ábrázoló egyenesek mind átmennek az

r / R = 2

n' = 1

ponton.

\begin{matrix} 2. ábra \end{matrix}

Mivel a törésmutató nem lehet

1

-nél kisebb, ezért

r / R

értékei nem lehetnek

2

-nél nagyobbak, vagyis a külső rádiuszok

(R)

nem csökkenhetnek a belső rádiuszok

(r)

fele alá. Ha

r / R = 2

, akkor (1) alatti megoldásunk első alakjában az első tag mindenképp nulla és így bármely

n

esetében

n' = 1

(vákuum). Ha az

r / R

hányados

2

alá csökken,

n'

már nagyobb

1

-nél; például ha

r = 10 cm

R = 6, 8 cm

r / R = 1, 47

és

n' = 1, 132

. A 2. ábrában az alsó vastag egyenes

n = 1, 5

-hez, a fölötte levő

n = 2

-höz tartozik. Ha

r / R = 1

, akkor

n' = (n + 1) / 2

. Ha

r / R < 1

, akkor a két külső lencse szóró meniszkuszlencsévé válik, de a feladat most is megoldható.

Molnár Gyula (Hajduszoboszló; Hőgyes E. g. III. o. t.)

Megjegyzés. A felhasznált képletek csak vékony lencsékre érvényesek (Dombi L., Jung J., Vozáry E.). Ha véges vastagságú lencsékkel számolunk (lásd az erről szóló cikket), akkor az 1. ábra bal oldali rajzán látható,

r / R = 1, 47

n = 1, 5

n' = 1, 132

adatokhoz tartozó, az ábra méretében elkészült lencserendszer tényleges gyújtótávolsága nem végtelen, hanem

- 21, 35 cm

lenne. Ha a rádiuszok megtartásával úgy toljuk össze a felületeket, amint az az 1. ábra bal oldali rajzán látható, akkor a vastagságok szerepe elhanyagolható.