Feladat: 696. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dombi László ,  Jung József ,  Molnár Gyula ,  Vozáry Eszter 
Füzet: 1967/november, 182 - 183. oldal  PDF file
Témakör(ök): Lencserendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/május: 696. fizika feladat

Milyen törésmutatójú anyaggal (vonalkázott rész) kell kitölteni az ábra szerinti, n=1,5 törésmutatójú üvegből készült lencserendszert, ha azt akarjuk, hogy ne nagyítson? (A lencserendszer szimmetrikus, és a belső lencse felületének és a burkolólencse belső felületének görbületi sugara (r) egyenlő. Milyen feltételeket kell kielégítenie a két görbületi sugárnak (r,R), hogy megfelelő megoldást kapjunk? Számadatok: R=6,8 cm, r=10 cm.)
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott n törésmutatójú anyagból készült szélső, konkáv-konvex lencsék mindegyikének erőssége (fókusztávolságának reciproka):

(n-1)(1R-1r),
az ugyanezen anyagból készült középső, bikonkáv lencse erőssége:
-(n-1)2r.
Az n' törésmutatójú anyagból készült bikonvex lencsék mindegyikének erőssége:
(n'-1)2r.

 
 
1. ábra
 

Az a kívánság, hogy a lencserendszer ne nagyítson, nyilvánvalóan úgy értendő, hogy a tárgy semmiféle elhelyezése mellett se nagyítson, vagyis planparalel lemezként viselkedjen, és így eredő fókusztávolsága végtelen, lencseerőssége nulla legyen. Az 5 lencse erősségét összegezzük, és az összeget 0-val tesszük egyenlővé:
2(n-1)(1R-1r)-(n-1)2r+2(n'-1)2r=0.
Ennek az egyenletnek a megoldása n'-re nézve:
n'=n(1-r2R)+r2R=n-r2R(n-1).(1)
Tehát a geometriai méretek, illetőleg az r/R hányados a lényeges. 2. ábránk, mint az (1) alatti megoldás grafikus ábrázolása mutatja meg, hogy adott n esetében különböző r/R értékekhez mekkora n' tartozik. Az (1) alatti eredményt ábrázoló egyenesek mind átmennek az r/R=2, n'=1 ponton.
 
 
2. ábra
 

Mivel a törésmutató nem lehet 1-nél kisebb, ezért r/R értékei nem lehetnek 2-nél nagyobbak, vagyis a külső rádiuszok (R) nem csökkenhetnek a belső rádiuszok (r) fele alá. Ha r/R=2, akkor (1) alatti megoldásunk első alakjában az első tag mindenképp nulla és így bármely n esetében n'=1 (vákuum). Ha az r/R hányados 2 alá csökken, n' már nagyobb 1-nél; például ha r=10cm, R=6,8cm, r/R=1,47 és n'=1,132. A 2. ábrában az alsó vastag egyenes n=1,5-hez, a fölötte levő n=2-höz tartozik. Ha r/R=1, akkor n'=(n+1)/2. Ha r/R<1, akkor a két külső lencse szóró meniszkuszlencsévé válik, de a feladat most is megoldható.
 
Molnár Gyula (Hajduszoboszló; Hőgyes E. g. III. o. t.)

 
Megjegyzés. A felhasznált képletek csak vékony lencsékre érvényesek (Dombi L., Jung J., Vozáry E.). Ha véges vastagságú lencsékkel számolunk (lásd az erről szóló cikket), akkor az 1. ábra bal oldali rajzán látható, r/R=1,47, n=1,5, n'=1,132 adatokhoz tartozó, az ábra méretében elkészült lencserendszer tényleges gyújtótávolsága nem végtelen, hanem -21,35cm lenne. Ha a rádiuszok megtartásával úgy toljuk össze a felületeket, amint az az 1. ábra bal oldali rajzán látható, akkor a vastagságok szerepe elhanyagolható.