Kezdőlap


Feladat:	678. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jung József , Kótai Endre , Maróti Péter , Szőkefalvi-Nagy Ágnes , Vozáry Eszter
Füzet:	1967/december, 237 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes körmozgás, Egyéb mozgás lejtőn, Nyomóerő, kötélerő, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/március: 678. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az autó akkor nem csúszik ki, ha a súrlódási erő maximális értéke egyenlő vagy nagyobb, mint a súly- és centrifugális erő lejtő irányú komponensei előjeles összegének abszolút értéke:

\begin{matrix} μ m (g cos α + \frac{v^{2}}{r} sin α) \geq | g sin α - \frac{v^{2}}{r} cos α | m . \end{matrix}

1. A minimális sebességre a következő feltételt írhatjuk fel:

\begin{matrix} μ (g cos α + \frac{v^{2}}{r} sin α) \geq g sin α - \frac{v^{2}}{r} cos α \\ \frac{v^{2}}{r} (μ sin α + cos α) \geq g sin α - μ g cos α . \\ (v = 0 esetén μ cos α \geq sin α, vagyis μ \geq tgα) \end{matrix}

Így

\begin{matrix} v_{{min}_{}^{}}^{2} = \frac{g r (sin α - μ cos α)}{μ sin α + cos α} . \end{matrix}

2. A maximális sebesség feltétele:

\begin{matrix} μ (g cos α + \frac{v^{2}}{r} sin α) \geq \frac{v^{2}}{r} cos α - g sin α, \\ (cos α - μ sin α) \frac{v^{2}}{r} \leq μ g cos α + g sin α . \end{matrix}

(Ha

cos α \leq μ sin α

, azaz

ctg α \leq μ

, akkor

v

tetszőleges lehet.)

\begin{matrix} v_{max}^{2} = \frac{g r (μ cos α + sin α)}{cos α - μ sin α} . \end{matrix}

Így

v

-re kapjuk:

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{g r (sin α - μ cos α)}{μ sin α + cos α}} \leq v \leq \sqrt[]{\frac{g r (μ cos α + sin α)}{cos α - μ sin α}} . \end{matrix}

μ = tg α_{0}

jelölést bevezetve:

\begin{matrix} \sqrt[]{r g} \sqrt[]{\frac{tg α - tg α_{0}}{1 + tg α \cdot tg α_{0}}} \leq v \leq \sqrt[]{r g} \sqrt[]{\frac{tg α + tg α_{0}}{1 - tg α \cdot tg α_{0}}}, \\ \sqrt[]{r g tg (α - α_{0})} \leq v \leq \sqrt[]{r g tg (α + α_{0})} . \end{matrix}

Ha a lejtő hajlásszöge olyan, hogy

μ \geq tg α

és

μ \geq ctg α

, akkor a kocsi nem csúszik ki, bármilyen sebességgel is halad.

Szőkefalvi-Nagy Ágnes (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t.) dolgozata alapján.