Feladat: 675. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Büttner György ,  Dalnoki Jenő ,  Faragó L. ,  Farkas István ,  Farkas J. ,  Horváthy Péter ,  Kálmán Péter ,  Lakatos Éva ,  Lázár Gy. ,  Maróti Péter ,  Pintz János ,  Stefanovicz K. 
Füzet: 1967/november, 180. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/március: 675. fizika feladat

Igazoljuk, hogy valamely függőleges síkú kör legfelső pontjából egyszerre, kezdősebesség nélkül indított, a kör húrjain mint lejtőkön lecsúszó tömegpontok egyszerre érik el ismét a kör kerületét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az r sugarú körben a húrhoz tartozó középponti szög 2α, ekkor a lejtő (húr) hossza 2rsinα.

 
 
1. ábra
 

A lejtőnek a vízszintessel bezárt szöge szintén α, mert az 1. ábrán jelölt szögek merőleges szárúak, és mind a kettő hegyesszög. Ezen a lejtőn a tömegpont gyorsulása gsinα. Ha t ideig csúszik le a test, akkor a
gsinα2t2=2rsinα
összefüggés áll fenn. Ebből t=2rg, ami független a lejtő szögétől.
 
Lakatos Éva (Bp., VIII. Szabados úti g. I. o. t.)

 
II. megoldás. Azonos idő megtétele után a lejtőn kezdősebesség nélkül elengedett test gyorsulása arányos a megtett úttal. Így csak azt kell belátnunk, hogy a gyorsulásvektorok végpontja egy olyan körön helyezkedik el, amely az adott körnek a legfelső pontból történő nagyításával vagy kicsinyítésével származtatható. Ez nyilvánvaló (2. ábra), mivel a=gsinα.
 
 
2. ábra
 

 
Kálmán Péter (Bp., Apáczai Cs. J. gyak. g. II. o. t.)

 
Megjegyzés. 1. Ha a lejtőn a súrlódást is figyelembe vesszük, akkor az egyforma idők görbéje nem egy r sugarú kör, hanem két nagyobb, r1+μ2 sugarú körből van összetéve, ahogy azt a 3. ábra mutatja.
 
 
3. ábra
 

 
Farkas István (Bp., Apáczai Cs. J. gyak. g. II. o. t.)

 
2. Ezt a feladatot Galileo Galilei adta fel, és oldotta meg a ,,Párbeszédek két új tudományágról'' című könyvében, ahol először tárgyalja a testek esésének általa felfedezett törvényeit. Ezt a tételt Galilei így fogalmazta meg: ,,Ha a horizont fölé állított kör legmagasabb pontjából különböző ferdeségű síkokat állítunk, amelyek a kör kerületéig érnek, akkor ezeken a síkokon az esés ideje egyenlő.''
 
Maróti Péter (Szeged, Ságvári E. g. II. o. t.)