Feladat: 664. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bálványos Zoltán ,  Breuer Pál ,  Büttner György ,  Sághy András 
Füzet: 1967/november, 174 - 175. oldal  PDF file
Témakör(ök): Rugalmatlan ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/február: 664. fizika feladat

m1 és m2 tömegű golyók ütköznek. Az ütközési együttható ε. A sebesség ütközés előtt v1=6 m/s, illetve v2=2 m/s (a két golyó szemben haladt egymással).
a) Mennyi a golyók u1, ill. u2 sebessége ütközés után, ha tudjuk, hogy m1=5 kg, m2=3 kg. Vizsgáljuk meg a problémát általánosan!
b) Mennyi legyen a két tömeg aránya, ha azt akarjuk, hogy az ütközés után az m2 tömeg nyugalomban maradjon, azaz u1=0 legyen?
(Lásd az ütközési együtthatóról szóló cikkünket jelen számunk 85. oldalán!)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg a problémát rögtön általánosan. Felírhatjuk az impulzus-megmaradás törvényét és ε definíciójából a relatív sebességek arányát.
Ez két egyenlet az u1 és u2 ismeretlenekre.

m1v1+m2v2=m1u1+m2u2(1)illetveε=u1-u2v2-v1.(2)



(2)-ből u1=ε(v2-v1)+u2, behelyettesítve (1)-be és u2 értékét kifejezve
u2=m1v1(1+ε)+(m2-εm1)v2m1+m2,hasonlóanu1=(m1-εm2)v1+m2v2(1+ε)m1+m2.(3)



Numerikus adatokat behelyettesítve kapjuk u1 és u2 értékét mint ε függvényét: u1=3(1-ε)m/s és u2=(5ε+3)m/s. Ábrázoljuk ezt grafikusan. ε értéke nyilván 1 és 0 között változhat (1. ábra).
 
 
1. ábra
 


Ha ε nő, akkor u2 értéke is nő, míg u1 értéke csökken, de mindig pozitív marad, azaz mindkét golyó az ütközés után minden esetben az m1 eredeti haladási irányába fog haladni. Teljesen rugalmatlan ütközés esetén (ε=0) mindkét golyó sebessége u1=u2=3m/s, míg teljesen rugalmas esetben (ε=1) u2=8m/s, és u1=0, azaz az első golyó nyugalomban marad.
b) Ahhoz, hogy u1=0 legyen, (3) alapján szükséges, hogy
m1v1(1+ε)+(m2-εm1)v2=0,
azaz
m1m2=k=ε(v1-v2)-v2v1
teljesüljön. Adatainkkal k=(4ε+1)/3, k=1/3, ha ε=0, és k=5/3, ha ε=1, mint azt már az előzőekben láttuk (2. ábra). Érdekes, hogy a kívánt feltétel teljesüléséhez k csak ily szűk határok közt változhat (ezen kezdeti sebességek mellett).
 
 
2. ábra
 
Bálványos Zoltán (Makó, József A. g. II. o. t.)

 
Megjegyzés. Csak a teljesen rugalmas ütközés esetén érvényes a mechanikai energia megmaradásának törvénye. Az elveszett energia nyilván ΔE=(m1v12+ +m2v22-m1u12-m2u22)/2. u1 és u2 értékét behelyettesítve
ΔE=m1m2(v1-v2)2(1-ε2)2(m1+m2).
Látható, hogy ez a teljesen rugalmas ütközéskor 0, míg a rugalmatlan ütközésnél a legnagyobb.
 
Büttner György (Esztergom, I. István g. II. o. t.)