Kezdőlap


Feladat:	655. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Andor László , Dobos Kálmán , Jung József
Füzet:	1967/október, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/január: 655. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A vitorlást $s_{1}$ úton $t_{1} = s_{1} / v_{1}$ ideig vontatják. Ekkor $s_{2}$ távolságra van Siófoktól és $t_{2} = s_{2} / v_{2} = 2 s_{2} / v_{1}$ idő alatt érkezik oda. Így a teljes menetidő

\begin{matrix} T = t_{1} + t_{2} = \frac{s_{1} + 2 s_{2}}{v_{1}} . \end{matrix}

1. ábra

A 15 km hosszú partvonal és a megtett

s_{1}

s_{2}

utak által bezárt háromszög (1. ábra) adataiból

s_{1}

és

s_{2}

kifejezhető a sinus és cosinus tétel segítségével.
A sinus tételből:

\begin{matrix} s_{1} = \frac{15 \cdot sin α}{sin (30^{\circ} + α)} 2 s_{2} = \frac{15}{sin (30^{\circ} + α)}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} T = \frac{15 (sin α + 1)}{v_{1} \cdot sin (30^{\circ} + α)} . \end{matrix}

A cosinus tételből

\begin{matrix} s_{2} = \sqrt[]{s_{1}^{2} + 15^{2} - 2 \cdot 15 \cdot s_{1} \cdot cos 30^{\circ}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} T = \frac{1}{v_{1}} (s_{1} + 2 \cdot \sqrt[]{s_{1}^{2} + 15^{2} - 15 \cdot \sqrt[]{3} \cdot s_{1}}) . \end{matrix}

A feladat a továbbiakban a fenti kifejezések minimumának megkeresése.
A minimumot megkereshetjük pl. grafikus úton. A differenciálszámítást ismerők

T

differenciálhányadosát képezve és azt nullával egyenlővé téve határozhatják meg a minimumot.

Így:

t = 3 óra, s_{min} = 8, 66 km

,
tehát 1 órán keresztül érdemes vontatni a vitorlást.

Jung József (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t.) és
Dobos Kálmán (Kiskunhalas, Szilády Á. g. III. o. t.) megoldásai alapján

2. ábra

II. megoldás. Addig érdemes vontatni, amíg a sebesség Siófok irányába mutató komponense nagyobb, mint a sebesség fele (a vitorlás saját sebessége), azaz akkor kell elválnia a vontatótól, amikor

\begin{matrix} v_{1} cos β = \frac{v_{1}}{2} (2. ábra) . \end{matrix}

Ebből

cos β = 0, 5

β = 60^{\circ}

és

α = 30^{\circ}

.
(A megoldás további menetét már ismerjük.)

Andor László (Bp., II. Rákóczi F. g. II. o. t.)