Feladat: 655. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Andor László ,  Dobos Kálmán ,  Jung József 
Füzet: 1967/október, 88 - 89. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/január: 655. fizika feladat

A balatonföldvári kikötőből v1=8,66 km/ó sebességgel vontatóhajó indul Almádi felé a partvonallal 30-os szöget bezárva. Egy vitorláshajónak Siófokra kell jutnia, amely Földvártól 15 km-re fekszik. A vitorlás állandónak feltételezett sebessége a fele a vontató sebességének. Meddig vontattassa magát a vitorlás, hogy a leghamarabb Siófokra érjen, és mennyi idő szükséges ehhez? (A partvonalat a Földvár-Siófok egyenes képezi.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A vitorlást s1 úton t1=s1/v1 ideig vontatják. Ekkor s2 távolságra van Siófoktól és t2=s2/v2=2s2/v1 idő alatt érkezik oda. Így a teljes menetidő

T=t1+t2=s1+2s2v1.

 
 
1. ábra
 

A 15 km hosszú partvonal és a megtett s1, s2 utak által bezárt háromszög (1. ábra) adataiból s1 és s2 kifejezhető a sinus és cosinus tétel segítségével.
A sinus tételből:
s1=15sinαsin(30+α)2s2=15sin(30+α),
és így
T=15(sinα+1)v1sin(30+α).
A cosinus tételből
s2=s12+152-215s1cos30
és
T=1v1(s1+2s12+152-153s1).
A feladat a továbbiakban a fenti kifejezések minimumának megkeresése.
A minimumot megkereshetjük pl. grafikus úton. A differenciálszámítást ismerők T differenciálhányadosát képezve és azt nullával egyenlővé téve határozhatják meg a minimumot.

Így:   t=3óra,smin=8,66km,
tehát 1 órán keresztül érdemes vontatni a vitorlást.
 
Jung József (Szeged, Radnóti M. g. III. o. t.) és
Dobos Kálmán (Kiskunhalas, Szilády Á. g. III. o. t.) megoldásai alapján

 
 
2. ábra
 

II. megoldás. Addig érdemes vontatni, amíg a sebesség Siófok irányába mutató komponense nagyobb, mint a sebesség fele (a vitorlás saját sebessége), azaz akkor kell elválnia a vontatótól, amikor
v1cosβ=v12(2. ábra).
Ebből cosβ=0,5, β=60 és α=30.
(A megoldás további menetét már ismerjük.)
 
 Andor László (Bp., II. Rákóczi F. g. II. o. t.)