Feladat: 563. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Simon János 
Füzet: 1966/április, 188. oldal  PDF file
Témakör(ök): Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/december: 563. fizika feladat

Egy R, illetve r sugarú súlytalan peremű súlyos aljú tányér szélére egy homogén pálcát helyezünk vízszintesen sugár irányban. A pálca hossza l, hosszegységnyi pálca súlya d. A pálca a tányér szélére A végétől x távolságra támaszkodik. A tányér és a pálca súlyának viszonyszáma k.
a) A-ban mekkora függőleges erővel tarthatjuk egyensúlyban a pálcát és a tányért?
b) Hogyan függ ez az erő x változásától?
c) Létrehozható-e mindig az egyensúly?
(Numerikus adatok: R=15 cm, r=11 cm, l=22 cm, d=10 p/cm, k=4 és x1=2 cm, x2=0,5 cm.)
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
 

a) Tegyük fel, hogy A-ban P erővel lehet a pálcát egyensúlyban tartani. Ezzel tart egyensúlyt a rúd középpontjában ható ld súlyerő. Felírva a forgatónyomatékok egyenlőségét:
Px=ld(l2-x),
ebből
P=ldl/2x-ld.

 
 

Numerikus adatokkal: x1 esetén P nagysága P1=990 p, x2 esetén pedig P2=4620 p.
b) A függőlegesen lefelé irányuló erőt pozitívnak véve láthatjuk, hogy P lényegében az x-szel fordítottan arányos. Kis x értékhez nagyon nagy P tartozik, amely x növelésével egyre csökken, sőt x=l/2-nél a nulla értéket veszi fel, ugyanis ha éppen középen támasztjuk alá a pálcát, akkor nincs szükség egyensúlyozó erőre. x-et tovább növelve azonban már negatív értéket kapunk összhangban azzal, hogy ekkor már az A vég felé esik a pálca hosszabb darabja. Grafikonon ábrázolva az ldl/2x-ld függvényt, az y-tengely mentén eltolt hiperbolát kapunk.
c) Abban a pontban, ahol a pálca a tányér szélére támaszkodik, S=P+ld függőleges erő hat. A tányér aljának a súlya: G=kld. Egyensúly akkor áll fenn, ha az O pontra nézve a tányér súlyának a forgatónyomatéka nagyobb az S erő forgatónyomatékánál:
Mt=kldrMs=(P+ld)(R-r)=ldl2x(R-r),
ebből
xl2R-rkr.

Behelyettesítve a numerikus adatokat, az egyensúly feltételeként x1 cm adódik, vagyis x12 cm esetén lehetséges, x2=0,5 cm esetén pedig lehetetlen az egyensúly.
 
 Simon János (Sopron, Széchenyi I. g. II. o. t.)