Feladat: 573. fizika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Dányi Gábor ,  Láng Róbert 
Füzet: 1983/november, 170 - 171. oldal  PDF file
Témakör(ök): Úszás, Olvadás, fagyás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/április: 573. fizika gyakorlat

Egy A=200 cm2 alapterületű edényben levő víz tetején jégtömb úszik, amelybe két ismeretlen sűrűségű, V1=10 cm3 és V2=17,6 cm3 térfogatú anyag van befagyva. Ha a jég elolvad, akkor a víz szintje h1=1,68 cm-rel csökken. Ha a jégtömbben csak az egyik anyagból lenne V=11,76 cm3 térfogatú befagyva, a jégtömb akkor is úszna, de olvadás után a víz szintje h2=1 cm-rel csökkenne. Mennyi a két anyag sűrűsége?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jégbe fagyott egyik ismeretlen anyagot nevezzük a-nak, a másik ismeretlen anyagot b-nek. Induljunk ki a második feltételből: a jégtömb a belefagyott ϱa sűrűségű a anyaggal úszik, így súlya egyenlő a kiszorított víz súlyával. Ennek alapján a kiszorított víz térfogata:

G2+Vϱagϱvg,
ahol G2 a jégbe fagyott víz súlya, ϱv a víz sűrűsége. Az a anyag sűrűbb a víznél, mert ellenkező esetben a jég elolvadása után is ugyanannyi lenne a kiszorított térfogat, azaz nem változna a vízszint. A jég elolvadása után tehát az a anyag elmerül. A kiszorított térfogat ekkor:
G2ϱvg+V.
A két kiszorított térfogat különbségéből adódik a h2 szintváltozás:
G2+Vϱagϱvg-(G2ϱvg+V)=h2A,
azaz
Vϱaϱv-V=h2A.
Innen
ϱa=ϱv(Ah2V+1)=1,8104 kg/m3.

Az egyenletből azt is leolvashatjuk, hogy a jégbe fagyott anyag térfogata egyenesen arányos a vízszintváltozással. Ezért ha az első esetben csak az a anyag okozná a vízszintváltozást, akkor aszerint, hogy az a anyag V1 V2 térfogatú, 0,85 cm ill. 1,5 cm lenne a vízszintváltozás, és nem 1,68 cm. Tehát a b anyag is okoz szintváltozást, így ez is sűrűbb a víznél.
A második esethez hasonlóan az első esetben is felírhatjuk a jég által kiszorított víz térfogatát:
G1+Ga+Gbϱvg,
ahol G1, Ga, Gb rendre a jégbe fagyott víz, az a anyag és a b anyag súlya. A jég elolvadása után a kiszorított térfogat:
G1ϱbg+V1+V2.
A szintkülönbség a két térfogat különbségéből adódik, ezért
Ga+Gbϱvg-V1-V2=h1A.

Két eset lehetséges aszerint, hogy melyik anyag melyik térfogathoz tartozik. Vagy Ga=ϱaV1g és Gb=ϱbV2g, vagy pedig Ga=ϱaV2g és Gb=ϱbV1g. Így a fenti egyenlet alapján a b anyag sűrűsége vagy
ϱb=(h1A+V1+V2)ϱv-ϱaV1V2=1,04104kg/m3
vagy
ϱb=(h1A+V1+V2)ϱv-ϱaV2V1=4,68103kg/m3.