Feladat:	546. fizika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bocsák Barnabás ,  Kotek Gyula ,  Szabó Szabolcs
Füzet:	1982/november, 169 - 170. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Egyéb egyenletesen változó mozgás, Függvények grafikus elemzése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/április: 546. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A bányalift mozgása a sebesség-idő grafikon alapján három részre bontható: 1. $0$ és $t_1=20$ s között a lift egyenletesen gyorsul, a gyorsulás értéke: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1=\frac{10\text{ m/s }}{20\text{ s}}=\frac{1}{2}{\text{ m/s}}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A kezdősebesség nulla, így az első szakaszban megtett út: $\begin{array}{c}{\displaystyle s_1=\left(1/2\right)a_1{t}_1^2=\left(1/2\right)\cdot \left(1/2\right)\left({\text{ m/s}}^2\right){\left(20\text{ s}\right)}^2=100\text{ m}\mathrm{.}}\end{array}$ 2. $20$ s és $50$ s között, $t_2=30$ s ideig egyenletesen mozog a lift, így a megtett út: $\begin{array}{c}{\displaystyle s_2=v{t}_2=\left(10\text{ m/s}\right)\cdot 30\text{ s}=300\text{ m}\mathrm{.}}\end{array}$ 3. $50$ s és $80$ s között $t_3=30$ s ideig a lift egyenletesen lassul, így a gyorsulás értéke negatív lesz: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_3=\frac{0\text{ m/s}-10\text{ m/s}}{30\text{ s}}=-\frac{1}{3}{\text{ m/s}}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A kezdősebesség itt $10$ m/s, így a harmadik szakaszban megtett út: $\begin{array}{c}{\displaystyle s_3=v{t}_3+\left(1/2\right)a_3{t}_3^2=\left(10\text{ m/s}\right)\cdot 30\text{ s}-\left[\left(1/6\right)\text{ m/s}{}^2\right]\cdot {\left(30\text{ s}\right)}^2=300\text{ m}-150\text{ m}=150\text{ m}\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát az összes út: $s=s_1+s_2+s_3=550\text{ m}$.   1. ábra   Az első szakaszon egyenletesen gyorsuló a mozgás, így ennek út-idő grafikonja egy parabolaív. A második részben egyenesvonalú, egyenletes a mozgás, így itt a grafikon egy egyenesszakasz, a harmadik részben pedig egyenletesen lassuló mozgásról van szó, így itt is parabolaívet kapunk, de ez domború, hiszen itt a gyorsulás negatív (l. az 1. ábrát). Az $s\left(t\right)$ függvényt a következő összefüggés adja meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle s\left(t\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(1/4\right)t^2\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ ha }0\leqq t\leqq 20}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 100+10\left(t-20\right)\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ ha }20\leqq t\leqq 50}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 400+10\left(t-50\right)-\left(1/6\right){\left(t-50\right)}^2\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ ha }50\leqq t\leqq 80.}\hfill \end{array}}}\end{array}$    Kotek Gyula (Pécs, Leöwey K. Gimn., I. o. t.)   II. megoldás. A lift által megtett utat az átlagsebességek értékével is ki lehet számolni. Az első szakaszban az átlagsebesség: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=\frac{0\text{ m/s}+10\text{ m/s}}{2}=5\text{ m/s}\mathrm{.}}\end{array}$ Így a megtett út: $s_1=v_1{t}_1=\left(5\text{ m/s}\right)\cdot 20\text{ s}=100\text{ m}$. A második szakaszban a mozgás egyenletes; a megtett utat ugyanúgy számoljuk ki, mint az első megoldásban $\left(s_2=300\text{ m}\right)$. A harmadik szakaszban az átlagsebesség szintén $5$ m/s, hiszen itt $10$ m/s-ról lassít $0$-ra, de az idő $30$ s, így a megtett út: $\begin{array}{c}{\displaystyle s_3=v_1{t}_3=\left(5\text{ m/s}\right)\cdot 30\text{ s}=150\text{ m}\mathrm{.}}\end{array}$    Bocsák Barnabás (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., I. o. t.)   III. megoldás. A sebesség-idő grafikonból közvetlenül is kiszámolhatjuk a megtett utat, hiszen a sebesség-idő grafikon és az idő-tengely által bezárt síkidom területe éppen a megtett utat adja meg.   2. ábra   Ebben az esetben egy trapézról van szó (2. ábra), amelynek párhuzamos oldalai $80$ és $30$, magassága $10$. Így a trapéz területe, azaz a megtett út $\begin{array}{c}{\displaystyle s=\frac{80\text{ s}+30\text{ s}}{2}\cdot 110\text{ m/s}=550\text{ m}\mathrm{.}}\end{array}$  Szabó Szabolcs (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)