Feladat: 546. fizika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bocsák Barnabás ,  Kotek Gyula ,  Szabó Szabolcs 
Füzet: 1982/november, 169 - 170. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Egyéb egyenletesen változó mozgás, Függvények grafikus elemzése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/április: 546. fizika gyakorlat

Az ábra egy bányalift sebesség‐idő grafikonját ábrázolja. Milyen mélyre megy le a lift? Ábrázoljuk az út‐idő függvényt!

 
546. gyakorlat


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A bányalift mozgása a sebesség-idő grafikon alapján három részre bontható:
1. 0 és t1=20 s között a lift egyenletesen gyorsul, a gyorsulás értéke:
a1=10  m/s  20  s=12  m/s2.
A kezdősebesség nulla, így az első szakaszban megtett út:
s1=(1/2)a1t12=(1/2)(1/2)(  m/s2)(20  s)2=100  m.

2. 20 s és 50 s között, t2=30 s ideig egyenletesen mozog a lift, így a megtett út:
s2=vt2=(10  m/s)30  s=300  m.

3. 50 s és 80 s között t3=30 s ideig a lift egyenletesen lassul, így a gyorsulás értéke negatív lesz:
a3=0  m/s-10  m/s30  s=-13  m/s2.
A kezdősebesség itt 10 m/s, így a harmadik szakaszban megtett út:
s3=vt3+(1/2)a3t32=(10  m/s)30  s-[(1/6)  m/s2](30  s)2=300  m-150  m=150  m.
Tehát az összes út: s=s1+s2+s3=550  m.
 

1. ábra
 

Az első szakaszon egyenletesen gyorsuló a mozgás, így ennek út-idő grafikonja egy parabolaív. A második részben egyenesvonalú, egyenletes a mozgás, így itt a grafikon egy egyenesszakasz, a harmadik részben pedig egyenletesen lassuló mozgásról van szó, így itt is parabolaívet kapunk, de ez domború, hiszen itt a gyorsulás negatív (l. az 1. ábrát).
Az s(t) függvényt a következő összefüggés adja meg:
s(t)={(1/4)t2,  ha  0t20100+10(t-20),  ha  20t50400+10(t-50)-(1/6)(t-50)2,  ha  50t80.

 

 Kotek Gyula (Pécs, Leöwey K. Gimn., I. o. t.)
 

II. megoldás. A lift által megtett utat az átlagsebességek értékével is ki lehet számolni. Az első szakaszban az átlagsebesség:
v1=0  m/s+10  m/s2=5  m/s.
Így a megtett út: s1=v1t1=(5  m/s)20  s=100  m.
A második szakaszban a mozgás egyenletes; a megtett utat ugyanúgy számoljuk ki, mint az első megoldásban (s2=300  m). A harmadik szakaszban az átlagsebesség szintén 5 m/s, hiszen itt 10 m/s-ról lassít 0-ra, de az idő 30 s, így a megtett út:
s3=v1t3=(5  m/s)30  s=150  m.

 

 Bocsák Barnabás (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., I. o. t.)
 

III. megoldás. A sebesség-idő grafikonból közvetlenül is kiszámolhatjuk a megtett utat, hiszen a sebesség-idő grafikon és az idő-tengely által bezárt síkidom területe éppen a megtett utat adja meg.
 

2. ábra
 

Ebben az esetben egy trapézról van szó (2. ábra), amelynek párhuzamos oldalai 80 és 30, magassága 10. Így a trapéz területe, azaz a megtett út
s=80  s+30  s2110  m/s=550  m.

 Szabó Szabolcs (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)