Kezdőlap


Feladat:	F.2251	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1980/november, 125. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt alakzatok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Síkidomok súlypontja, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/március: F.2251

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tartsuk úgy a sokszögünket, hogy $A_{4} A_{11}$ átlója vízszintes legyen, és válasszuk ennek az egyenesét a koordináta‐rendszer $x$ tengelyének, a sokszög centrumát pedig origónak. Mivel 11-4=7=14/2, a választott átló egyben átmérő a sokszög köré írt körben:

\begin{matrix} 2 R = A_{4} A_{11} . \end{matrix}

Szorozzuk meg 2-vel az (1) összefüggést, és írjuk mindegyik tag helyére benne az azzal egyenlő hosszúságú vízszintes átlók összegét:

\begin{matrix} (A_{1} A_{14} + A_{7} A_{8}) - (A_{2} A_{13} + A_{6} A_{9}) + (A_{3} A_{12} + A_{5} A_{10}) = A_{4} A_{11} . \end{matrix}

Vegyük észre, hogy ez az állítás azt jelenti, hogy ha a vízszintes átlók hosszát felülről lefelé haladva váltakozó előjellel összeadjuk, akkor 0-t kapunk. Ez viszont (ha most osztunk 2-vel) azt jelenti, hogy az

A_{1}

A_{3}

A_{5}

A_{7}

A_{9}

A_{11}

A_{13}

pontok első koordinátáinak az összege 0. Ámde ezek a pontok egy szabályos hétszög csúcsai, koordinátáik számtani közepe pedig súlypontjuk koordinátáit adja. Mivel ez az origó, a koordináták összege valóban 0.

Megjegyzések. 1. Az, hogy a szabályos sokszögek súlypontja a centrumuk, legegyszerűbben azzal bizonyítható, hogy ezt a pontot a centrum körüli, a csúcsokat egymásba vivő forgatások önmagába viszik.
2. Megoldásunkból kiolvasható az állítás általánosítása.